Formelsammlung Trigonometrie
Die Grundlage für ein gut bestandenes Mathe-Abitur ist ein richtiges Verständnis für die Formeln. Wenn das vorhanden ist, reicht schon nur etwas Übung, um sich mit den verschiedenen Aufgabentypen bekannt zu machen und eigene Fehler und Schwäche zu erkennen und zu verbessern.
Unten also die wichtigsten Formeln mit Erklärung.
wobei:
F - die Fläche
a – die Grundseite
und h – die auf der Grundseite stehende Höhe
bedeuten.
Anmerkung:
Die Höhe eines Dreiecks zeichnet man aus, indem man ein Segment vom Scheitel des Dreiecks senkrecht bis zur Grundseite durchführt.
Grund:
Bei Zusammenstellung von 2 Gleichen (kongruenten) Dreiecks entsteht ein Parallelogramm (im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks - ein Quadrat), dessen Fläche aus der Formel F = ah zu bemessen ist. Dabei sind seine Höhe und die Länge der Grundseite deren des Dreiecks gleich. Da wir aber die Fläche von einem (nicht 2) Dreieck ausfinden wollen, ist der Wert durch 2 zu teilen.
a² + b² = c²
Wobei:
a und b – die Katheten
und c - die Hypotenuse
bedeuten.
Anmerkung:
Katheten sind die Seiten des Dreiecks, die den rechten Winkel darstellen.
Hypotenuse ist die Seite des Dreiecks, die entgegen des rechten Winkels liegt.
2.2 Katheten Satz:
Vorbereitung:
Von dem rechtwinkligen Scheitel zeichnen wir die Höhe des Dreiecks. Sie überschneidet die Grundseite des Dreiecks und teilt sie in 2 Segmente.
a² = pc
b² = qc
Wobei:
a – die rechte Kathete
p – den rechten Teil der Grundseite
b – die Linke Kathete
q – den linken Teil der Grundseite
und c – die Grundseite
bedeuten.
3. Winkelfunktionen:
Vorbereitung:
Wir zeichnen ein Dreieck, dessen Seiten a, b und c genannt werden, wobei der entgegen a Seite liegende Winkel - α, entgegen b Seite - βund entgegen c Seite - γ heißt.
sin α = a / c
cos α = b / c
tg α = a / b
ctg α = b / a
Dabei sind zwischen den Werten folgende Beziehungen vorhanden:
sin² α + cos² α = 1
tg α = sin α / cos α falls: α ≠ π / 2 + kπ
Wobei:
k – ganze Zahl
bedeutet.
sin (α+β)= sin α cos β + cos α sin β
sin (α-β)= sin α cos β – cos α sin β
cos (α+β)= cos α cos β – sin α sin β
cos (α-β)= cos α cos β + sin α sin β
tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1- tg α tg β)
tg (α-β) = (tg α – tg β) / (1+ tg α tg β)
Unten also die wichtigsten Formeln mit Erklärung.
Formelsammlung Trigonometrie
Fläche eines Dreiecks zählen:
F = ah / 2wobei:
F - die Fläche
a – die Grundseite
und h – die auf der Grundseite stehende Höhe
bedeuten.
Anmerkung:
Die Höhe eines Dreiecks zeichnet man aus, indem man ein Segment vom Scheitel des Dreiecks senkrecht bis zur Grundseite durchführt.
Grund:
Bei Zusammenstellung von 2 Gleichen (kongruenten) Dreiecks entsteht ein Parallelogramm (im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks - ein Quadrat), dessen Fläche aus der Formel F = ah zu bemessen ist. Dabei sind seine Höhe und die Länge der Grundseite deren des Dreiecks gleich. Da wir aber die Fläche von einem (nicht 2) Dreieck ausfinden wollen, ist der Wert durch 2 zu teilen.
Rechtwinkliges Dreieck:
2.1. Pythagoras:a² + b² = c²
Wobei:
a und b – die Katheten
und c - die Hypotenuse
bedeuten.
Anmerkung:
Katheten sind die Seiten des Dreiecks, die den rechten Winkel darstellen.
Hypotenuse ist die Seite des Dreiecks, die entgegen des rechten Winkels liegt.
2.2 Katheten Satz:
Vorbereitung:
Von dem rechtwinkligen Scheitel zeichnen wir die Höhe des Dreiecks. Sie überschneidet die Grundseite des Dreiecks und teilt sie in 2 Segmente.
a² = pc
b² = qc
Wobei:
a – die rechte Kathete
p – den rechten Teil der Grundseite
b – die Linke Kathete
q – den linken Teil der Grundseite
und c – die Grundseite
bedeuten.
3. Winkelfunktionen:
Vorbereitung:
Wir zeichnen ein Dreieck, dessen Seiten a, b und c genannt werden, wobei der entgegen a Seite liegende Winkel - α, entgegen b Seite - βund entgegen c Seite - γ heißt.
sin α = a / c
cos α = b / c
tg α = a / b
ctg α = b / a
Dabei sind zwischen den Werten folgende Beziehungen vorhanden:
sin² α + cos² α = 1
tg α = sin α / cos α falls: α ≠ π / 2 + kπ
Wobei:
k – ganze Zahl
bedeutet.
sin (α+β)= sin α cos β + cos α sin β
sin (α-β)= sin α cos β – cos α sin β
cos (α+β)= cos α cos β – sin α sin β
cos (α-β)= cos α cos β + sin α sin β
tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1- tg α tg β)
tg (α-β) = (tg α – tg β) / (1+ tg α tg β)
