Pythagoras

Eine der wichtigsten und auch sehr häufig angewendeten Formeln in der Geometrie ist ganz bestimmt der Satz des Pythagoras. Überhaupt haben wir "den alten Griechen" aber auch der arabischen Wissenschaft viel zu verdanken. Beim Satz des Pythagoras wird ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet. Dessen längste Seite c steht dabei in der folgenden Beziehung zu den beiden Katheten a und b:

c^2 = a^2 + b^2

Satz des Thales

Thales war ebenfalls ein griechischer Mathematiker und Philosoph. Quasi als Spezialfall des Kreiswinkelsatzes formulierte er eine schon lange, bereits von den Babyloniern und Ägyptern bekannte Tatsache in dieser Weise:
Es ergibt sich immer ein rechtwinkliges Dreieck, wenn man ausgehend von Anfang und Ende eines Kreisdurchmessers zwei Linien zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis zieht. 

Höhensatz

Es war Euklid, der die Höhe h im rechtwinkligen Dreieck einer besonderen Betrachtung unterzog. Die Höhe h steht senkrecht auf der Hypotenuse (das ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck) und reicht zum Eckpunkt C hinauf. Gleichzeitig zerteilt der Fußpunkt von h die Hypotenuse c in die zwei meistens unterschiedlichen Anteile p und q. Der Höhensatz des Euklid heißt dann:

h^2 = p q

Trigonometrie

Auch die einfachen Formeln der Trigonometrie basieren auf dem rechtwinkligen Dreieck. Hierbei werden vor allem die Winkel und ihre Beziehungen zu den Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks betrachtet. Wir bilden also das rechtwinklige Dreieck aus den Eckpunkten A, B und C, denen die Katheten a und b bzw. die Hypotenuse c (längste Seite) gegenüber liegen. Die Winkel Alpha, Beta und Gamma befinden sich an den Eckpunkten A, B und C, wobei ja der Winkel Gamma per Definition 90 Grad sein muss. Die beiden Winkel Alpha und Beta bzw. deren Sinus- und Kosinus-Funktionswerte (Amplituden der Sinus/Kosinusfunktionen) ergeben sich aus den folgenden Seitenverhältnissen:

sin(Alpha) = a / c (Gegenkathete durch Hypotenuse)
cos(Alpha) = b / c (Ankathete durch Hypotenuse)
tan(Alpha) = a / b (Gegenkathete durch Ankathete)
sin(Beta) = b / c (bezogen auf Beta wieder dessen Gegenkathete durch Hypotenuse)
cos(Beta) = a / c
tan(Beta) = b / a

Hat man beispielsweise sin(Alpha) bestimmt, dann erhält man den Winkel Alpha durch Anwendung der Umkehrfunktion "Arcus-Sinus" auf den Funktionswert der Sinuskurve. Wer keinen Taschenrechner oder Tabellenwerk zur Hand hat, kann sich mit der Zeichnung einer Sinuskurve behelfen und in diesem Diagramm vom Funktionswert auf den zugehörigen Winkel schließen (innerhalb gewisser Fehlergrenzen).

Beliebige Dreiecke

Für den allgemeinen Fall, also für Dreiecke, die keinen 90 Grad Winkel enthalten, gibt es auch wichtige Formeln. Eine davon ist der Kosinussatz. Dazu betrachten wir ein Dreieck wie oben beschrieben, allerdings mit dem Unterschied, dass auch der Winkel Gamma beliebig und verschieden von 90 Grad ist. In diesem allgemeinen Fall gilt dann:

c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos(Gamma)

Man erkennt leicht die Ähnlichkeit zum Satz des Pythagoras, der eigentlich ein Spezialfall des Kosinussatzes ist. Wenn Gamma gleich 90 Grad ist, dann ist cos(Gamma) gleich null, und damit fällt der hintere Term weg.