Bei der Ableitung einer Funktion F(x) handelt es sich in aller Regel wiederum um eine Funktion f(x), die an jeder Stelle x die Steigung ihrer Stammfunktion F(x) beschreibt. Anschaulich ist diese Steigung die Neigung der Tangente, die an der Stelle x an die Stammfunktion F(x) angelegt werden kann. In der Mathematik wird diese Situation bzw. die Ableitung beschrieben durch das Steigungsdreieck:

F'(x) = dF/dx = (F(x+h) - F(x)) / h

Die Schrittweite h auf der X-Achse ist dabei infinitesimal klein, bzw. es wird hierbei der Grenzübergang h --> 0 betrachtet. Im Grunde genommen betrachtet man den Steigungswinkel alpha der Tangente an der Kurve, denn der oben genannte Quotient stellt genau den Tangens dieses Neigungswinkels dar.

Es lässt sich leicht zeigen, dass in der Durchführung dieses Grenzübergangs im Ergebnis eine einfache, generelle Ableitungsvorschrift heraus kommt. Bei den recht einfachen Polynomfunktionen ergeben sich deren Ableitungen dann in dieser Weise:

Verwende den Exponenten als Faktor und erniedrige den Exponenten um Eins.

Beispiel:

d x^n / dx = n x^(n-1)

In Worten: Die Ableitung von X hoch N ist gleich N mal X hoch N minus Eins.

Nehmen wir als Stammfunktion F(x) ein vollständiges Polynom 4. Grades:

F(x) = a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e

Dann lautet dessen Ableitung f(x) = dF(x)/dx =

4a x^3 + 3b x^2 + 2c x + d

Der konstante Y-Achsenabschnitt e muss formal weg fallen, weil jener Faktor e in der Stammfunktion im Prinzip mit x^0 (=1) multipliziert ist, und das Vorziehen des Exponenten 0 als Faktor in der Ableitung führt natürlich zum Verschwinden des letzten Terms.

Sehr wichtig zu wissen, was quasi zur Allgemeinbildung gehört, das sind die folgenden Ableitungen:

- Die Ableitung der Exponentialfunktion e^x bleibt unverändert e^x !
- Die Logarithmus-naturalis Funktion ln(x) wird in ihrer Ableitung zur 1/x - Funktion !
- Die Sinusfunktion wird zur Kosinusfunktion !
- Die Kosinusfunktion wird zur (minus)-Sinusfunktion
- Die Tangensfunktion bedeutet ja, dass man die Funktion sin(x)/cos(x), also den Quotienten zweier Funktionen ableiten soll. Dafür gilt die folgende Quotientenregel:

u(x) und v(x) seien zwei Funktionen von x. Dann gilt für die Ableitung der Quotientenfunktion u(x)/v(x) allgemein die Vorschrift:

[u(x) v'(x) - v(x) u'(x)] / v(x)^2

Angewandt auf die Tangensfunktion bedeutet dies:

[sin(x) (-)sin(x) - cos(x) cos(x)] / cos^2(x) = -[sin^2(x) + cos^2(x)] / cos^2(x)

Wenn man dann noch weiß, dass grundsätzlich immer gilt:
Sinus(quadrat) + Kosinus(quadrat) an jeder Stelle x ist gleich Eins !

Dann vereinfacht sich die Ableitung der Tangensfunktion zu: -1/cos^2(x)