Lösungsverfahren

Determinantenverfahren

Lineare (n; n)-Gleichungssysteme können mithilfe des Determinantenverfahrens gelöst werden. Dabei werden folgende Determinanten betrachtet:

| A | ist die Koeffizientendeterminante; |

| ergibt sich, wenn in | A | die i-te Spalte durch den Konstantenvektor

ersetzt wird.

Ist die Koeffizientendeterminante nicht null, erhält man eine Lösung:

(cramersche Regel)

Lösbarkeitskriterien

Homogenes Gleichungssystem:

		eindeutig lösbar (Nullvektor als triviale Lösung)
		unendlich viele Lösungen

Inhomogenes Gleichungssystem:

		eindeutig lösbar (cramersche Regel)
und \| \| = 0 für alle i		unendlich viele Lösungen
und nicht alle \| \| gleich null		keine Lösung

gaußsches Eliminierungsverfahren

Das gegeben lineare Gleichungssystem wird durch äquivalente Umformungen (bzw. Umformen der Koeffizientenmatrix A in eine obere Dreiecksmatrix) in Staffel- bzw. Dreiecksform gebracht. Im Fall m = n hat diese die folgende Gestalt:

Hieraus ergibt sich als erste Lösung

, und durch rückwärtiges Einsetzen können sukzessive die Werte der variablen

berechnet werden.

Lösbarkeitskriterien

Homogenes Gleichungssystem:

Rang A = n		eindeutig lösbar (Nullvektor als triviale Lösung)
Rang A < n		unendlich viele Lösungen

Inhomogenes Gleichungssystem:

Rang A = Rang S = n		eindeutig lösbar
Rang A = Rang S < n		unendlich viele Lösungen
Rang A < Rang S		keine Lösung