Mathematisch/geometrisch anschauliche Herleitung:

Eine Dimension bezeichnet eine Ausdehnung in eine Richtung, die nicht durch die Richtungen anderer, untergeordneter Dimensionen dargestellt werden kann.

Beispiel:

Dimension 0:
Ein Punkt ohne Ausdehnung.

Dimension 1:
Wir bewegen uns in einer beliebigen Richtung vom Punkt weg und erhalten eine Gerade.

Dimension 2:
Wir suchen eine Richtung, die nicht die der Geraden ist, im einfachsten Fall: senkrecht auf die Gerade. Dadurch erhalten wir ein Koordinatensystem, mit welchem wir jeden Punkt einer Ebene erreichen können.

Dimension 3:
Wir suchen eine Richtung, die nicht in der Ebene (aus Dimension 2) liegt. Dazu zeigen wir einmal (vergleichbar dem Sekundenzeiger einer Uhr) in alle Richtungen der Ebene und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die "nach oben oder unten" zeigen, im einfachsten Fall: senkrecht auf der Ebene "nach oben". Dadurch erhalten wir ein Koordinatensystem, mit welchem wir jeden Punkt im Raum erreichen können.

Dimension 4:
Wir suchen wiederum eine Richtung, die nicht im Raum (aus Dimension 3) liegt. Dazu zeigen wir kugelförmig in alle Richtungen, die wir uns vorstellen können und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die wir uns mit unserem 3-dimensionalen Verstand nicht vorstellen können, im einfachsten Fall: senkrecht auf alle Richtungen, die wir uns vorstellen können. Erweitern wir den Raum in diese Richtung, haben wir einen 4-dimensionalen Hyperraum beschrieben. (Für einen Menschen nicht visuell vorstellbar!)

Durch derart logische Überlegungen, kann man z.B. errechnen, dass ein 4-dimensionaler (Hyper-)Würfel (Tesserakt) 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate und 8 Würfel besitzt.

Jede Dimension kann man sich als Zusammensetzung einer größeren Anzahl der vorherigen Dimension vorstellen: So kann die Gerade (Dimension 1) als Zusammenfügung einer größeren Anzahl Punkte (Dimension 0) gedacht werden. Begrenzt würde unsere Beispiel-Gerade dann von jeweils einem Punkt an jedem Ende. Überträgt man diese Gedanken auf die Vierte Dimension, so kann diese auch als Zusammensetzung vieler Räume (Dimension 3) gedacht werden. Wobei die Vierte Dimension dann nach außen von Räumen begrenzt wird.

Physikalisch verbreitetes Verständnis:

Gemäß der obigen mathematischen Definition ist ein 4-dimensionales Koordinatensystem ein Koordinatensystem mit 4 linear unabhängigen Richtungen. Somit eignet es sich, um unsere bekannten 3 Raumdimensionen und die Zeit abzubilden.

In Einsteins Relativitätstheorie sind Raum und Zeit tatsächlich zu einer vierdimensionalen Raumzeit vereinigt. Der Raum zu einer festen Zeit ist einfach eine Hyperfläche (in der speziellen Relativitätstheorie eine Hyperebene) in der Raumzeit. Damit ist die "Richtung" des Raumes (und der Zeit) in der Raumzeit nicht eindeutig bestimmt. In der Tat hängt die Wahl der Raum-Hyperebene vom Bezugssystem ab. Anschaulich darstellen lässt sich das in Minkowskidiagrammen.

Allerdings ist die Raumzeit ? auch die ungekrümmte ? nicht euklidisch, da die Zeit mit umgekehrtem Vorzeichen in die Metrik eingeht. Das hat wichtige Folgen, so z.B., dass man nicht einfach in der Zeit umkehren kann.

Kosmologische Bedeutung:

Inwieweit über unsere Vorstellung hinaus der uns umgebende Raum tatsächlich Ausdehnung in weitere Richtungen hat, damit beschäftigt sich die Kosmologie.

Umgangssprachliche Bedeutung:

Mit 4. Dimension wird oft etwas Geheimnisvolles, Unerklärliches assoziiert.