Der Vektorraum ist das fundamentale Konzept der Linearen Algebra; Anwendungen finden sich in fast allen Zweigen der Mathematik.

Prototyp eines Vektorraums ist der zwei- oder dreidimensionale, geometrisch anschauliche Euklidische Raum. In der Abstraktion zum Vektorraum erlaubt man beliebig, auch unendlich viele Dimensionen. Als Vektoren, also Elemente des Vektorraums, lässt man auch Objekte wie Funktionen oder Matrizen zu, die aus einem außergeometrischen Kontext stammen. Entscheidend ist nur, dass die Elemente eines Vektorraums den aus der Geometrie abstrahierten Regeln für die Addition und Streckung von Vektoren genügen.

Die Streckung eines Vektors erfolgt durch äußere Multiplikation mit einer skalaren Zahl; dementsprechend ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum über einem bestimmten Zahlkörper. In den meisten Anwendungen legt man den Körper der reellen oder den der komplexen Zahlen zugrunde.

Formale Definition

Eine Menge V heißt Vektorraum über einem Körper K oder K-Vektorraum, wenn zwei Verknüpfungen,

• eine Vektoraddition +:V×V?V und
• eine Skalarmultiplikation *:K×V?V

definiert sind, die den folgenden zehn Bedingungen genügen:

Für alle Vektoren u, v, w aus V und alle Skalare a, b aus K gilt:

• (V,+) ist eine Abelsche Gruppe, das heißt,
  • v + w ist wieder ein Vektor aus V (Abgeschlossenheit);
  • u + (v + w) = (u + v) + w (Assoziativität);
  • Es gibt einen Nullvektor 0 aus V, so dass 0 + v = v = v + 0;
  • Es gibt zu jedem Vektor v einen inversen Vektor -v, so dass v + (-v) = 0;
  • v + w = w + v (Kommutativität);
• für die Skalarmultiplikation gilt:
  • a * v liegt wieder in V (Abgeschlossenheit: V ist Bahnenraum unter K);
  • a * (b * v) = (a * b) * v (Assoziativität);
  • 1 * v = v (das neutrale Element von K wirkt auch auf V neutral);
• und die folgenden Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation:
  • a * (v + w) = a * v + a * w;
  • (a + b) * v = a * v + b * v (links vom Gleichheitszeichen bezeichnet "+" die Addition in K, nicht die Vektoraddition).

Bemerkungen:

• Da K kommutativ ist, wird nicht zwischen Skalarmultiplikation von links oder von rechts unterschieden.
• Wenn man statt einem Körper K einen Ring zugrunde legt, erhält man ein Modul.
• Streng genommen ist die Multiplikation im Körper K eine andere, als die im zugehörigen K-Vektorraum. Trotzdem werden oft beide mit dem selben Zeichen(· oder *) bezeichnen. Oft lässt man das Multiplikationszeichen auch ganz weg.

Beispiele

Euklidische Ebene

Anschauliche Vektorräume sind die 2-dimensionale Ebene oder der 3-dimensionale Raum mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren. Wir betrachten die 2-dimensionale Euklidische Ebene:

v = ( 2 , 3 ) sei die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben.

w = ( 3 ,-5 ) sei die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung:

v + w = ( 5 ,-2 ), d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor ist 0 = ( 0 , 0 ), d.h. keine Verschiebung.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die Skalarmultiplikation:

a * v = 3 * ( 2 , 3 ) = ( 6 , 9 ). Diese Verschiebung ist das Dreifache der Verschiebung v.

Ein einfacher abstrakter Vektorraum

Vektorräume können jedoch auch abstrakter aussehen. So kann V etwa die Menge der Geraden sein. Beispiele für Geraden sind etwa:

f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3x - 5 .

Die Summe zweier Geraden ist wieder eine Gerade:

f(x) + g(x) = 2x + 3 + 3x - 5 = (2+3)x + (3-5) = 5x - 2 ..

Der Nullvektor ist die Funktion

n(x) = 0x + 0 , d.h. n(x) = 0.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die Skalarmultiplikation:

a * f(x) = 3 * (2x + 3) = (3^.2)x + (3^.3) = 6x + 9.

Eigenschaften

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Spezielle Vektorräume

Oft besitzt ein Vektorraum neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur; er ist dann ein topologischer Vektorraum.

In vielen Vektorräumen ist es möglich, die Länge eines Vektors anzugeben, die etwas abstrakter seine Norm genannt wird: der Vektorraum ist dann ein normierter Raum. Eine Norm induziert stets eine Metrik und damit auch eine Topologie.

Oft ist es sinnvoll und möglich, auch den Winkel zwischen Vektoren zu definieren. Das geschieht mit Hilfe des Skalarprodukts (nicht zu verwechseln mit der Skalarmultiplikation!); der Vektorraum ist dann ein Innenproduktraum.

In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum, ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbert-Raum.

Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen, deren Elemente Elektronenwellenfunktionen sind.

Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Aus einem Vektorraum kann man duch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum, konstruieren.

Untervektorraum / Teilvektorraum

Wir betrachten den oben angegebenen K-Vektorraum V.

V' ist ein Untervektorraum oder auch Teilvektorraum von V, falls die folgenden Bedingungen gelten:

• 
• 
• Liegen Elemente x und y in V', so liegt auch (x + y) in V' (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)
• Liegt das Element x in V', so liegt auch a * x in V', für alle a in K (Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation)

Beispiel:

Sei V ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen zum Quadrat: . Ein möglicher Untervektorraum ist , da er die o.g. Bedingungen des Untervektorraums erfüllt. Anschaulich ist V eine Ebene, und M ist eine Gerade aus dieser Ebene, wobei eine Koordinate stets 0 ist.

Siehe auch: Hierarchie mathematischer Strukturen, Raum (Mathematik)