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Lipschitz-Bedingung

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Lipschitz-Bedingung

Lipschitz-stetig ist ein Begriff aus der Analysis. Die Lipschitz-Stetigkeit ist nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz (1832-1903) benannt.

Eine Funktion $f:x \mapsto y$ erfüllt in einer (in ihrem Definitionsbereich liegenden) offenen Menge U die Lipschitz-Bedingung, wenn folgendes gilt:

$\exists L > 0 : \forall x_1,x_2 \in U : \left| f(x_1)-f(x_2)\right| \le L \cdot \left| x_1-x_2 \right|$

In diesem Fall sagt man, f sei Lipschitz-stetig auf U, und L wird Lipschitz-Konstante genannt. Existiert ein (maximales) M im gesamten Definitionsgebiet G, so erfüllt f eine gleichmäßige Lipschitz-Bedingung in G. Im mehrdimensionalen erfolgt die Definition der Lipschitz-Stetigkeit analog über eine entsprechende Norm. Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als eins nennt man Kontraktion. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach.

Nach dem Satz von Rademacher ist eine Lipschitz-stetige Funktion fast überall stetig differenzierbar. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar aber nicht Lipschitz-stetig sind, z.b. $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},~x\mapsto x^2$ . Lipschitz-stetige Funktionen sind ferner überall stetig. Daher kann man auch sagen, dass Lipschitz-stetig mehr als stetig ist und für beschränkte Funktionen weniger als differenzierbar.

Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen.

Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit, für die es je nach Anwendung verschiedene Definitionen gibt:

1. Sei $D\subset\mathbb{R}^{m+n},~f(x,y):D\rightarrow\mathbb{R}^n.~f$ erfüllt die lokale Lipschitz-Bedingung bzgl. $y\in\mathbb{R}^n$ genau dann, wenn $\forall (\xi, \eta)\in D~\exists\delta>0, L>0~\forall x,y,\tilde{y}$ mit $(x,y), (x,\tilde{y})\in D,~\left\|x-\xi\right\|<\delta,~\left\|y-\eta\right\|<\delta,~\left\|\tilde{y}-\eta\right\|<\delta: \left\|f(x,y)-f(x,\tilde{y})\right\|<L\left\|y-\tilde{y}\right\|$ .

2. Sei $D\subset\mathbb{R}^2,~f(x,y):D\rightarrow\mathbb{R}.~f$ erfüllt die lokale Lipschitz-Bedingung bzgl. $y\in\mathbb{R}^n$ genau dann, wenn $\forall r>0~\exists L_r>0~\forall x\in D,|y|,|\tilde{y}|\leq r:\left\|f(x,y)-f(x,\tilde{y})\right\|<L_r\left\|y-\tilde{y}\right\|$ .

3. Seien $(X, d x),(Y, d y)$ metrische Räume, $\mathcal{U}(\cdot)$ der Umgebungsfilter. $f:X\rightarrow Y$ heißt lokal Lipschitz-stetig $:\Leftrightarrow$ $\forall x\in X~\exists U\!\in\mathcal{U}(x):U\subset X,~f|_U:U\rightarrow Y$ ist Lipschitz-stetig.

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