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Lineares Gleichungssystem

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Lineares Gleichungssystem

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung, Erklärung

2 Beispiel

2.1 Aufgabe
2.2 Lösung

3 Lösbarkeit

4 Lösungsverfahren

5 Siehe auch

Einführung, Erklärung

Lineare Gleichungssysteme sind eine Anwendung der linearen Algebra und bestehen aus mehreren linearen Gleichungen. Diese sind dadurch definiert, dass die Unbekannten in ihnen nur in der ersten Potenz - also linear - stehen und die Konstanten beispielsweise reelle Zahlen sind. Im einfachsten Fall ist also ein lineares Gleichungssystem aus $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten soetwas wie:

$\begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 & \cdots & a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 & \cdots & a_{2n} x_n & = & b_2\\ &&&\vdots&\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 & \cdots & a_{mn} x_n & = & b_m\\ \end{matrix}$

Dabei werden die Koeffizienten $a i j$ zu einer Matrix $A$ , die Unbekannten $x i$ zu einem Vektor $x$ und die rechte Seite bestehend aus $b j$ zu einem Vektor $b$ zusammengefasst.

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix};\qquad x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix};\qquad b = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}$

Damit ergibt sich die allgemeine Form des linearen Gleichungssystems:

$A \cdot x + b = 0$ mit $A \in \mathbb{K}^{{n}\times{m}}$ , $b \in \mathbb{K}^n$ und $x \in \mathbb{K}^m$

Beispiel

Aufgabe

Ein Vater und ein Sohn sind zusammen 62 Jahre alt. Vor sechs Jahren war der Vater viermal so alt wie der Sohn. Wie alt ist jeder?

Lösung

Gesetzt das Alter des Vater sei x und das Alter des Sohnes y. So gilt

(1) x + y = 62
(2) x - 6 = 4 * (y -6)

Es ergibt sich also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Formt man (1) durch Subtraktion von x zu

(1') y = 62 - x

um und setzt dies in (2) ein, so folgt

x - 6 = 4 * (62 - x - 6) | Faktoren in der Klammer zusammenfassen
x - 6 = 4 * (56 - x)     | Klammer ausmultiplizieren
x - 6 = 224 - 4x         | + 4x + 6
5x    = 230              | : 5
x     = 46

setzt man dieses Ergebnis in (1') ein so folgt dann

y = 62 - 46
y = 16

Also ist der Vater 46 Jahre und der Sohn 16 Jahre alt, zusammen also 62 Jahre. Vor sechs Jahren waren der Vater 40 Jahre und der Sohn 10 Jahre alt, der Vater also viermal so alt wie der Sohn.

Lösbarkeit

$A \cdot x + b = 0$ mit $A \in \mathbb{K}^{{n}\times{m}}$ , $b \in \mathbb{K}^n$ und $x \in \mathbb{K}^m$ ist abhängig von $n$ , $m$ , den Koeffizienten $A$ und der rechten Seite $b$ nicht immer lösbar oder hat eine eindeutige Lösung. Im Prinzip ist jede der $m$ Gleichungen eine Information über die $n$ Unbekannten. Sind zu wenig Informationen vorhanden, können natürlich nicht alle Lösungen bestimmt werden - man spricht hierbei von einem unterbestimmten Gleichungssystem. Auf der anderen Seite kann manchmal keine Lösung vorhanden sein, wenn zu viele (sich gegenseitig widersprechende) Informationen vorhanden sind - man sagt ein überbestimmtes Gleichungssystem.

Beispielsweise hat $x 1 + x 2 = 1$ unendlich viele Lösungen, nämlich abhängig von $x 1$ löst jedes $x 2 = 1 - x 1$ diese Gleichung. Das Gleichungssystem aus den beiden Gleichungen $x 1 = 1$ und $x 1 = 2$ hat hingegen keine Lösung, da $x 1$ nicht gleichzeitig beide Gleichungen erfüllen kann - es kann ja nur entweder $1$ oder $2$ sein.

Das Gleichungssystem $A \cdot x + b = 0$ ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Matrix $A$ gleich dem Rang der erweiterten Matrix $(A | b)$ ist.

Dabei ist die erweiterten Matrix $(A|b) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$ .

Eindeutig lösbar ist $A \cdot x + b = 0$ , wenn die Anzahl der Unbekannten $n$ gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.

Nachdem Zeilenrang gleich Spaltenrang bei einer Matrix gilt, ist ein überbestimmtes, lineares Gleichungssystem also trotzdem lösbar, wenn durch Hinzunahme der rechten Seite in die Matrix $A$ zu $(A | b)$ keine Vergrößerung des Ranges stattfindet. In diesem Fall sind die Gleichungen linear abhängig und die Information der Gleichungen also redundant. Wenn die Anzahl linear unbhängigen Gleichungen, der Rang der erweiterten Matrix oder auch die Anzahl der unabhängigen Informationen gleich der Anzahl Unbekannter ist, existiert also genau eine Lösung. Gibt es weniger Unbekannte, so sind diese nicht eindeutig bestimmbar.

Lösungsverfahren

Die Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen unterteilt man in iterative und direkte Verfahren. Beispiele für direkte Verfahren sind das Gaußsches Eliminationsverfahren und die Cramersche Regel.

Siehe auch

Toeplitz-Matrix
Liste numerischer Verfahren#Lineare Gleichungssysteme

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