Eine Lie-Gruppe, benannt nach Sophus Lie, ist eine mathematische Struktur, die insbesondere in der Analysis, Geometrie und Physik zur Beschreibung von Symmetrien verwendet wird.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen eingeführt; unabhängig von Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen zum Studium nicht-Euklidischer Geometrien.

Definitionen

Eine Lie-Gruppe ist eine analytische reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt. Damit die Struktur der Mannigfaltigkeit und die der Gruppe miteinander verträglich sind, müssen die Gruppenverknüpfung und deren Umkehrung analytische Funktionen sein.

Bemerkung: Einige Autoren fordern nur, dass die Gruppenverknüpfung und die Mannigfaltigkeit (d.h. der der Mannigfaltigkeit zugrunde liegende Atlas) unendlich oft differenzierbar sind. Im Komplexen ist jede unendlich oft differenzierbare Funktion auch analytisch; im Reellen besteht ein marginaler Unterschied.

Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen H, G ist ein Gruppen-Homomorphismus f: H?G, der zugleich eine analytische Abbildung ist. Man kann zeigen, dass dafür genügt, dass f stetig ist.

Ein Isomorphismus von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus. Isomorphe Lie-Gruppen werden für alle praktischen Zwecke als gleich betrachtet.

Erste Beispiele

Der Euklidische Raum Rⁿ mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen triviale reelle Lie-Gruppe.

Interessantere und typischere Beispiel sind die Gruppen invertierbarer Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung sowie deren Untergruppen, zum Beispiel die Gruppe SO(3) aller Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Klassifikationsmöglichkeiten

Man kann Lie-Gruppen nach ihren Gruppen-Eigenschaften klassifizieren: einfach, halbeinfach, auflösbar, nilpotent, abelsch (siehe auch Gruppentheorie-Glossar).

Jede Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe. Somit besitzt eine Lie-Gruppe auch eine topologische Struktur und kann nach topologischen Attributen klassifiziert werden: zusammenhängend, einfach-zusammenhängend, kompakt.