In der Mathematik ist die Lie-Algebra sl(2,C) der Prototyp einer einfachen Lie-Algebra.

Die sl(2,C) ist eine dreidimensionale komplexe einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist bereits als Lie-Algebra eindeutig indentifiert.

Bei der Klassifikation der endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebra hat sie die Funktion einer Testalgebra. Man sich (dieser vergleich ist nicht so ganz richtig) jede halbeinfachen Lie-Algebra zusammengesetz aus sl(2,C) denken.

In der Physik ist die sl(2,C) die Lia-Algebra, die die Lorentzgruppe erzeugt. Sie spielt dort in der speziellen Relativitätstheorie eine entscheidende Rolle.

Es gibt viele Bezeichnungen und Realisationen der sl(2,C), die im Folgenden beschrieben werden.

Definition durch Kommutator Relationen

Betrachten wir den drei dimensionalen komplexen Vektorraum g, der durch die Basis x,y,z erzeugt wird:

Durch die folgenden Relationen wird auf g eine Lie-Algebra-Struktur definiert:

Als 2x2-Matrizen

Betrachten wir alle 2x2-Matrizen deren Spur verschwindet. Setzen wir

so haben wir mit der Kommutatorklammer die Relationen

Kreuzprodukt auf C hoch 3

Auf dem bildet das Kreuzprodukt eine Lie-Algebra. Setzen wir

so haben wir die obigen Kommutator-Relationen.

Reelle Formen der sl(2,C)

Die Lie-Algebra sl(2,C) hat zwei reelle Formen. Eine reelle Form einer Lie-Algebra ist eine reelle Lie-Algebre, die, wenn man sie komplexifiziert, die urpruengliche LIe-Algebra ergibt (hier sl(2,C)). Die beiden reellen Formen der sl(2,C) sind die Lie-Algebra su(2) und die Lie-Algebra sl(2,R).