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Lie-Algebra

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Lie-Algebra

berührt die Spezialgebiete

Mathematik
- Lineare Algebra
- Lie-Gruppen
Physik
- Eichtheorie

ist Spezialfall von

Vektorraum

Beispiele sind

R³ mit Kreuzprodukt
assoziative Algebra mit Kommutator
glatte Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit
spezielle lineare Lie-Algebra|sl(n,R)

Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbare Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Beispiele

2.1 Aus der Algebra
2.2 Glatte Vektorfelder
2.3 Lie-Algebra einer Lie-Gruppe
2.4 Glatte Funktionen mit der Poissonklammer
2.5 Homomorphismem
2.6 Unteralgebra
2.7 Ideal
2.8 Satz von Ado

3 Typen von Lie-Algebren

3.1 Abelsche Lie-Algebra
3.2 Nilpotente Lie-Algebra
3.3 Satz von Engel
3.4 Auflösbare Lie-Algebra
3.5 Einfache Lie-Algebra
3.6 Halb-einfache Lie-Algebra
3.7 Satz von Weyl
3.8 Klassifikation
3.9 Zusammenhang zu Lie-Gruppen

Definition

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum g über einem Körper K zusammen mit einer Verknüpfung $[\cdot,\cdot]:g\times g\longrightarrow g,\quad (x,y)\longmapsto [x,y]$ welche Lie-Klammer genannt wird, und den folgenden Bedingungen genügt:

Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt somit $[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z]\,$ und $[z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y]\,$ für alle $a, b\in K\,$ und alle $x, y, z \in g\,$
Sie genügt der Jacobi-Identität. Die Jacobi-Identität lautet $[x,[y,z]]+ [y,[z,x]] +[z,[x,y]]=0\,$ gilt für alle $x,y,z\in g \,$ .
Es gilt $[x, x] = 0$ für alle $x\in g\,$ .

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie [x, y] = ? [y, x] für alle x, y aus g, außer wenn K die Charakteristik 2 hat. Lie-Klammern sind im allgemeinen nicht assoziativ: [[x, y], z] muss nicht gleich [x, [y, z]] sein.

Beispiele

Aus der Algebra

Die Lie-Algebra sl(2,C)

Der Euklidische Vektorraum R³ bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als Kreuzprodukt definiert.

Eine assoziative Algebra A mit einer Multiplikation * kann zu einer Lie-Algebra gemacht werden, indem man [x, y] = x * y ? y * x definiert. Eine so definierte Lie-Klammer heißt Kommutator von x und y. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt.

Als konkretes Beispiel betrachten wir die Lie-Gruppe SL(n,R) aller n-mal-n Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1. Der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen n-mal-n Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die Matrizen-Multiplikation der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.

Allgemeine_lineare_Lie-Algebra

Glatte Vektorfelder

Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen. Seien X, Y zwei glatte Vektorfelder und f eine glatte Funktion. Wir definieren die Lie-Klammer durch [X, Y] f = (XY ? YX) f.

Lie-Algebra einer Lie-Gruppe

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlich-dimensionale Lie-Algebra.

Glatte Funktionen mit der Poissonklammer

Die glatten Funktionen auf einer Symplektischen Mannigfaltigkeit, bilden mit der Poissonklammer eine Lie-Algebra. Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit.

Homomorphismem

Seien $g\,\!$ und $h\,\!$ zwei Lie-Algebren. Eine lineare Abbildung $\varphi:g\longrightarrow h$ heißt Lie-Algebra-Homomorphismus, wenn $[\varphi(x),\varphi(y)]=\varphi([x,y])$ für alle $x,y\in g$ gilt.

In der Kategorie der Lie-Algebren sind die Lie-Algebren die Objekte und die Lie-Algebra-Homomorphimen die Pfeile.

Unteralgebra

Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra g ist ein Untervektorraum $h\leq g$ , der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist. Das heißt für alle $x,y\in h$ gilt $[x,y]\in h$ . Eine Unteralgebra ist selbst eine Lie-Algebra.

Ideal

Eine Unteralgebra $i\leq g$ heißt Ideal, wenn $[x,y]\in i$ für alle $x\in g$ und $y\in i$ gilt.

Die Ideale sind genau die Kerne der Lie-Algebra-Homomorphismen.

Auf dem Quotientenraum $g/i\,\!$ wird durch $[x+i,y+i]:=[x,y]+i\,\!$ eine Lie-Algebra definiert, die Quotienten-Algebra. Dabei waren $x,y\in g$ .

Satz von Ado

Der Satz von Ado besagt, dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra Unteralgebra der GL(C,n) ist. Das heißt man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

Typen von Lie-Algebren

Abelsche Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra ist abelsch, wenn die Lie-Klammer identisch Null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.

Nilpotente Lie-Algebra

Sei g eine Lie-Algebra. Wir definieren die absteigende Zentralreihe durch:

$g^0=g,\;\;\; g^1=[g^0,g^0],\;\;\; g^2=[g^1,g^1],\;\;\; g^3=[g^2,g^2],\;\;\;{\rm etc.}$

Eine Lie-ALgebra heißt nilpotent, wenn ihre absteigende Zentralreihe stationär wird. Das bedeutet, es gibt ein $n\in{\mathbb N}$ so dass $g^j=g^n\,$ für alle $j > n$ ist.

Satz von Engel

Sei g eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra, dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

Die Lie-Algebra $g \,$ ist nilpotent
Für jedes $x \in g$ ist ${\rm ad}(x):g\longrightarrow g,\quad y\longmapsto [x,y]$ eine nilpotente lineare Abbuldung.

Auflösbare Lie-Algebra

Sei g eine Lie-Algebra. Wir definieren die abgeleitete Reihe durch:

$g^{(0)}=g,\;\;\; g^{(1)}=[g,g^{(0)}], \;\;\; g^{(2)}=[g,g^{(1)}], \;\;\; g^{(3)}=[g,g^{(2)}],\;\;\;\; {\rm etc.}$

Eine Lie-ALgebra heißt auflösbar, wenn ihre abgeleitete Reihe stationär wird. Das bedeutet, es gibt ein $n\in{\mathbb N}$ so dass $g^{(j)}=g^{(n)}\,$ für alle $j > n$ ist.

Eine maximale auflösbare Unteralgebra heißt Borel-Unteralgebra.

Einfache Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra heißt einfach, wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat und nicht abelsch ist.

Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet. Dies kann zu Verwirrungen führen. Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst, so ist die Forderung, dass sie nicht abelsch sein darf, unnatürlich.

Halb-einfache Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra g heißt halb-einfach, wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist.

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra g sind die folgenden Aussagen äquivalent:

g ist halb-einfach.
Das Radikal von g verschwindet.
Die Killing-Form :K(u,v) = tr(ad(u)ad(v)) ist nicht-entartet ist (tr bezeichnet die Spur von Matrizen).

Satz von Weyl

Sei g eine halbeinfache endlichdimensioanel komplexe Lie-Algebra, dann ist jede endlichdimensionale Darstellung von g vollständig reduzibel.

Klassifikation

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Elie Cartan abgeschlossen.

Zusammenhang zu Lie-Gruppen

Zum Beispiel haben die Gruppen SO(3) (orthogonale 3×3 Matrizen mit Determinante 1) und SU(2) (unitäre 2×2 Matrizen mit Determinante 1) dieselbe Lie-Algebra, nämlich R³ mit dem Kreuzprodukt und sind deshalb lokal, aber nicht global isomorph (siehe Karten der SO(3)).

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