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Levi-Civita-Symbol

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Levi-Civita-Symbol

Das Levi-Civita-Symbol $? i j k ...$ , oft auch (ein wenig nachlässig) Epsilon-Tensor genannt, ist ein Symbol, das sich in Mathematik, Physik und verwandten Disziplinen für viele Rechnungen als praktisch erweist. Es ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Tullio Levi-Cività (1873-1941).

Definition

Das Levi-Civita-Symbol in n Dimensionen hat n Indizes, die gewöhnlich von 1 bis n (für manche Anwendungen auch von 0 bis n-1) laufen. Es wird durch folgende Eigenschaften definiert:

$\epsilon_{12\dots n} = 1$
Unter Vertauschung zweier Indizes ändert es das Vorzeichen: $\epsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\epsilon_{ij\dots v\dots u\dots}$ .

Gleichwertig ist die Definition

$\epsilon_{ijk\dots} = \left\{\begin{matrix} +1 & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist} \\ -1 & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist} \\ 0 & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.} \end{matrix}\right.$

Das Symbol bezeichnet die Komponenten eines kovarianten Tensors n-ter Stufe.

Anwendungen

Das Levi-Civita-Symbol mit drei Indizes erweist sich in der Vektorrechnung als nützlich, um die Komponenten des Kreuzproduktes zweier Vektoren zu schreiben. Es gilt

$(\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k$

Bei solchen Rechnungen wird häufig die Einsteinsche Summenkonvention angewandt, das heißt, man lässt die Summenzeichen weg und vereinbart, dass über in Produkten doppelt auftretende Indizes stets automatisch summiert wird.

Die Determinante einer $n \times n$ -Matrix $A = (A i j)$ kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden:

$\det A = \epsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}$

Siehe auch: Kronecker-Symbol, Permutation

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