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Legendre-Polynom

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Legendre-Polynom

Die Legendre-Polynome, benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre, bilden ein orthogonales Funktionensystem.

Die Legendresche Differentialgleichung hat die Gestalt

$(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0\,\!$

Legendre-Polynome heißen die partikulären Lösungen der Legendreschen Differentialgleichung für ganzzahlige n

$P_n(x) = \frac{1}{2^n\,n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]$

Für sie gilt die Orthogonalitätsrelation:

$\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{nm}$

dabei ist $? n m$ das Kronecker-Delta.

Die ersten Legendre-Polynome lauten:

$P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x,\quad P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1),\quad P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)$

Siehe auch: Spezielle Funktionen

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