Die Laplace-Gleichung ist die homogene Variante der Poisson-Gleichung, d.h. die rechte Seite ist Null. Zu Lösen ist also:

in einem Gebiet ? und geeigneten Randbedingungen auf dem Rand .

? ist dabei der Laplace-Operator:

Die Laplace-Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung (PDE) zweiter Ordnung und zwar der Prototyp einer elliptischen PDE.

Harmonische Funktion

Eine Funktion u(x,y) heißt harmonisch in einem Gebiet D, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und die Laplace-Gleichung auf dem Gebiet erfüllt.