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Kugelflächenfunktionen

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Kugelflächenfunktionen

Kugelflächenfunktionen werden die wie folgt definierten Funktionen $Y l m$ genannt:

$Y_{lm}(\theta,\phi) := \frac{1}{2\pi}N_{lm} P_{lm}(\cos\theta)e^{\imath m\phi}$

Dabei sind

$P_{lm} (x):=\frac{(-1)^m}{2^ll!}(1-x^2)^{\frac m2} \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{l+m} (x^2-1)^l$

die zugeordneten Legendrepolynome und

$N_{lm} := \sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}$

sind Normierungsfaktoren.

Es gilt die Orthogonalitätsrelation:

$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} Y_{lm}^{*}(\theta,\phi) \, Y_{l'm'}(\theta,\phi) \, \sin{\theta} \, d\theta \, d\phi = \delta_{ll'} \, \delta_{mm'}$

wobei $? i j$ das Kronecker-Delta ist.

Die ersten Kugelflächenfunktionen lauten:

$Y_{00} = \frac{1}{\sqrt{4 \pi}}, \quad Y_{10} = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \cos{\theta}, \quad Y_{11} = -\sqrt{\frac{3}{8 \pi}} \sin{\theta} \, e^{i \phi}$

$Y_{20} = \sqrt{\frac{5}{16 \pi}} \left( 3 \cos^{2}{\theta} - 1 \right), \quad Y_{21} = -\sqrt{\frac{15}{8 \pi}} \sin{\theta} \, \cos{\theta} \, e^{i \phi}, \quad Y_{22} = \sqrt{\frac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\theta} \, e^{2i \phi}$

Die jeweiligen $Y l, - m$ erhält man aus den $Y l m$ durch:

$Y_{l,-m}(\theta,\phi) = (-1)^{m} \, Y_{lm}^{*}(\theta,\phi)$

Der Grund für diese Definition ist es, eine Lösung für den radiusunabhängigen Teil der zeitunabhängigen Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten für ein radialsymmetrisches Problem zu erhalten. Die Kugelflächenfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der theoretischen Physik.

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