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Kubische Gleichung

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Kubische Gleichung

Kubische Gleichungen sind Gleichungen der allgemeinen Form $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$ ( a ungleich 0, sonst wäre es eine quadratische Gleichung).

Lösung einer kubischen Gleichung mit Hilfe der Cardanische Formeln

Kubische Gleichung: $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$

Durch Substitution von

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}$

$q=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}$

in die Form

x 3 + p x + q = 0

bringen.

Lösung

Fall 1: ${q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} > 0$

$x = \sqrt[3]{-{q \over 2} + \sqrt{{q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}} + \sqrt[3]{{-{q \over 2}} - \sqrt{{q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}} - {b\over {3*a}}$

Eine reelle Lösung:

Fall 2: ${q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} = 0$

Zwei reelle Lösungen:

$x1 = \sqrt[3]{{q \over 2}} - {b\over {3*a}}$ (doppelte Nullstelle)

$x2 = -\sqrt[3]{{4*q}} - {b\over {3*a}}$ (einfache Nullstelle)

Fall3: ${q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} < 0$ (Casus irreducibilis)

Drei reelle Lösungen

$x_1 = 2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right) - {b\over {3*a}}$

$x_2 = -2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right) + \frac{\pi}{3}\right)- {b\over {3*a}}$

$x_3 = -2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right) - \frac{\pi}{3}\right) - {b\over {3*a}}$

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