Krümmung ist ein Begriff aus der Mathematik. Je nach Art des gekrümmten Gegenstandes wird er unterschiedlich definiert.

Krümmung einer Kurve

Unter der Krümmung einer Kurve versteht man in der Geometrie und Mathematik die Richtungsänderung pro Längeneinheit. sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge s. Die Krümmung der Kurve ist dann definiert als

Zusammen mit der Windung beschreibt die Krümmung die Gestalt einer Kurve in der Umgebung eines Punktes.

Den Kehrwert der Krümmung nennt man Krümmungsradius.

Im Sonderfall einer ebenen Kurve (ihre Windung beträgt null) ist die Krümmung gleichbedeutend mit

wobei der Neigungswinkel der Kurventangente ist.

Krümmung einer Fläche

Einer gewölbten Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar.

In der Differentialgeometrie weist man gekrümmten Flächen zwei Krümmungsradien zu: einen maximalen (N) und einen minimalen (M) in jedem Punkt. Sie stehen immer senkrecht aufeinander. Die Gauß-sche oder mittlere Krümmung ist geometrisches Mittel ihrer Kehrwerte:

Die zugehörige "Gauß'sche Schmiegungskugel" vereinfacht z.B. Berechnungen am Erdellipsoid erheblich.

Topologische Krümmung

Für eine Mannigfaltigkeit kann eine Krümmung definiert werden, ohne dass hierzu eine zusätzliche Dimension erfoderlich ist. Die Krümmung bewirkt eine Änderung der Metrik innerhalb der Mannigfaltigkeit.

Die Stärke der Krümmung kann dadurch ermittelt werden, in dem man das Verhältnis des Kreisumfangs zum Radius innerhalb der Mannigfaltigkeit ermittelt und zu dem Wert 2?, den man in einen Euklidischen Raum erhält, in Verhältnis setzt.

Bemerkenswert ist, dass zum Beispiel die Oberfläche eines Torus keine Krümmung aufweist. Dies lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass man einen Torus aus einer ebenen Fläche bilden kann. Das Koordinatensystem, welches auf der Oberfläche benutzt wird, ergibt sich durch die Abbildung der ebenen Fläche, aus dem der Torus gebildet wurde.

In der Relativitätstheorie

Innerhalb der Allgemeinen Ralativitätstheorie wird die Raum-Zeit durch die in ihr enthalten Massen gekrümmt. Diese Krümmung wird als Gravitation wahrgenommen.

In der Allgemeine Relativitätstheorie bewegen sich Körper in der Raum-Zeit auf geodätische Bahnen. Aufgrund der Krümmung der Raum-Zeit erwecken diese Bahnen den Anschein, dass eine Kraft auf dem entsprechenden Körper ausgeübt wird.