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Kosinus

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Kosinus

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC ist der Kosinus (oder Cosinus) eines Winkels ? das Verhältnis von Ankathete b zur Hypotenuse c:

$\cos \alpha = \frac{b}{c}.$

Ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel in C

Es gilt:

$\cos(\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha)$

sin 2 (?) + cos 2 (?) = 1

(Satz des Pythagoras)

$\frac{d}{d\alpha} \sin(\alpha) = \cos(\alpha), \quad \frac{d}{d\alpha} \cos(\alpha) = - \sin(\alpha)$ (Der Kosinus ist die Ableitung des Sinus, die Ableitung des Kosinus ist das Negative des Sinus)

Der Kosinus gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Cosinusfunktion

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Betrachtung

1.1 Taylorsche Reihenentwicklung des Kosinus
1.2 Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion

2 Weitere Bedeutung

Formale Betrachtung

Taylorsche Reihenentwicklung des Kosinus

$\cos (x)= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-...$

Die Taylor-Reihe des Kosinus konvergiert überall gegen den Funktionswert des Kosinus (das heißt der Konvergenzradius ist unendlich). Für kleine Werte zeigt sich ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur nummerischen Berechnung kann man daher die Periodizität und Symmetrie der Funktion ausnutzen und den x-Wert bis auf den Bereich -?/4 bis ?/4 reduzieren (siehe Reduktionsformel). Danach sind für eine geforderte Genauigkeit nur noch wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom bis zur vierten Potenz z.B. hat im Intervall [-?/4, ?/4] einen relativen Fehler von unter 0,05%.

Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion

Die trigonometrischen Funktionen können auch mit Hilfe der Exponentialfunktion definiert werden. Dieser Ansatz führt zum einen Sinus und Kosinus auf nur eine Reihe zurück, ergibt zum anderen die Eulerformel und erlaubt außerdem die Erweiterung des Kosinus auf komplexe Argumente. Selbstverständlich kann man auch den Kosinus wie oben definieren und dann die Übereinstimmung mit dieser Definition zeigen.

Für eine komplexe Zahl z gilt

$\cos z \, = \, \mbox{Re } (e^{iz}) = { 1 \over 2 } \left( e^{iz} + e^{-iz} \right)$

Ausgehend von dieser Definition lassen sich sehr leicht die Eigenschaften des Kosinus und die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus nachweisen.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen, Kosinussatz

Weitere Bedeutung

Kosinus ist auch eine Comicfigur einer deutschen Computerzeitschrift.

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