Unter Konvergenz versteht man in der Mathematik die Existenz eines Grenzwertes. Das Konzept der Konvergenz ist grundlegend für die moderne Analysis. Beispielsweise den alten Griechen war es nicht geläufig (siehe Zenos Paradoxon).

Konvergenz von Folgen

Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung des Grenzwertes ab einem bestimmen Index alle Folgenglieder in dieser Umgebung liegen.

Definition

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (x_i) in X heißt konvergent gegen a wenn gilt:

(Sprich: Es gibt für jedes beliebige (noch so kleine) ? einen Index N, derart, dass für alle n > N (alle weiteren Folgenglieder) gilt d(a, x_n) < ? (in den reellen Zahlen also |x_n - a| < ?))

a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge und man schreibt

.

Wenn die Folge (x_i) nicht konvergiert, dann sagt man, sie divergiert. In den reellen Zahlen unterscheidet man dann zwischen bestimmter Divergenz und unbestimmter Divergenz.

Bestimmte Divergenz gegen (bzw. ) liegt vor, wenn die x_i jede reelle Zahl irgendwann überschreiten und dann darüber bleiben (bzw. jede Zahl unterschreiten). Man schreibt dann

bzw.

und sagt, die Folge divergiert bestimmt gegen bzw. gegen .

Unbestimmte Divergenz liegt vor, wenn die Folge nicht das eben beschriebene Verhalten hat.

Beispiele

In den reellen Zahlen:

• Die Folge (1/n) konvergiert gegen 0 (ist eine Nullfolge).
• Die konstante Folge (c) mit einer festen reellen Zahl c konvergiert gegen c.
• Die Folge (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) der abbrechenden Dezimalentwicklungen von ?2 konvergiert gegen ?2.
• Die Folge (n) der natürlichen Zahlen divergiert bestimmt gegen .
• Die Folge (+1,-1,+1,-1,...) divergiert unbestimmt.
• Die Folge (1,-2,3,-4,5,-6,...) divergiert unbestimmt.
• Die sogenannten Goodstein Folgen begeben sich (für größere Anfangswerte n) erst ins Unendliche, aber kehren seltsamerweise wieder daraus zurück und konvergieren für jede natürliche Zahl n gegen 0. Dies ist zurückzuführen auf eine Arithmetik der Ordinalzahlen. Die Eindeutigkeit des Grenzwertes ist dabei nicht verletzt, denn der Grenzwert ist 0.

In den rationalen Zahlen sind (1/n) und (c) für eine feste rationale Zahl c konvergent; die Dezimalbruchentwicklung von ?2 konvergiert aber nicht, da kein rationaler Grenzwert existiert. Sie ist jedoch eine Cauchy-Folge.

Konvergenzkriterien

Da man häufig die Konvergenz einer unendlichen Reihe nicht direkt mit der obigen Definition zeigen kann, gibt es einige so genannte Konvergenzkriterien.

• Cauchy-Kriterium
• Majorantenkriterium
• Quotientenkriterium
• Wurzelkriterium
• Leibniz-Kriterium

Konvergenz von Funktionen

Um das Verhalten von Funktionen zu beschreiben, wenn das Argument gegen unendlich oder gegen einen bestimmten Wert strebt nutzt man das Konzept der Konvergenz von Funktionen.

Siehe auch:

• absolute Konvergenz, punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz
• Cauchy-Folge
• Konvergenzgeschwindigkeit
• Reihe (Mathematik)