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Kondition (Mathematik)

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Kondition (Mathematik)

Inhaltsverzeichnis

1 Erklärung

2 Konkret

3 Beispiele

4 Behandlung

Erklärung

In der numerischen Mathematik beschreibt man mit der Kondition die Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten. Die Konditionszahl stellt ein Maß für diese Abhängigkeit dar, sie beschreibt den Faktor um den Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt werden. Die Kondition eines Problems ist unabhängig von dem Verfahren welches angewendet wird.

Bei einer großen Konditionszahl spricht man auch von einem schlecht konditionierten Problem.

Die Bedeutung der Kondition wird offensichtlich, wenn man sich den Unterschied zwischen den realen Eingangsdaten (beispielsweise reelle Zahlen) und den tatsächlichen Eingangsdaten in Form von Maschinenzahlen klar macht. Es liegen also einem Computerprogramm stets bereits verfälschte Daten vor. Das Computerprogramm sollte nun ein brauchbares Ergebnis liefern. Wenn aber das Problem bereits schlecht konditioniert ist, darf man keine Wunder mehr vom Algorithmus erwarten.

Konkret

Um nun konkret etwas angeben zu können, muss man als erstes ein numerisches Problem charakterisieren: Ein numerisches Problem ist eine Abbildung, die die $n$ Eingangsdaten auf die $m$ Ausgangsdaten abbildet: $p : \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m$ .

Wenn nun gestörte Eingangsdaten, wie $x i + ? x i$ , vorliegen, entstehen verfälschte Ausgangsdaten $y j + ? y j$ :

$\delta y \approx \frac{\partial p}{\partial x} \delta x$

Die absoluten Konditionszahlen sind definiert als: $\kappa_{i,j,absolut} := |\frac{\partial p_i}{\partial x_j}|$

Die relativen Konditionszahlen sind nun definiert als: $\kappa_{i,j,relativ} := |\frac{x_j}{y_i} \frac{\partial p_i}{\partial x_j}|$

Beispiele

Multiplikation:

$\kappa_{1,relativ} := |\frac{x_1 x_2}{x_1 x_2}| = 1$

Damit ist die Multiplikation also gut konditioniert.

Addition: $x 1 + x 2$

$\kappa_{1,relativ} := |\frac{x_1 x_2}{x_1 + x_2}|$

Die Addition ist nun für $x_1 + x_2 \approx 0$ sehr schlecht konditioniert. In diesem Fall spricht man von Auslöschung.

Behandlung

Man sollte also schlecht konditionierte Probleme vermeiden. Aber wie? Wenn konkret ein derartiges Problem gestellt ist, muss man damit leben. Häufig hat man aber ein Problem, welches zur Behandlung in einzelne Schritte zerlegt wird. Bei dieser Zerlegung hat man die Möglichkeit schlecht konditionierte Probleme zu umgehen. Beispielsweise die obige Auslöschung: Braucht man wirklich dieses Zwischenergebnis? Oder kann man im Fall $x_1 \approx - x_2$ auf eine andere Weise zur Gesamtlösung kommen?

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