Kompaktheit ist eine rein topologische Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht, und die in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt wird - oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokale Kompaktheit ist dagegen eine weder über-, noch untergeordnete Bedingung.

Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist nicht erheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist oder nicht.

Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums Rⁿ wie das Intervall [0,1] (mit n=1) oder dessen Verallgemeinerung, der n-dimensionale Hyperwürfel [0,1]ⁿ. Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen [0,?) oder [0,1).

Der Begriff Beschränktheit setzt jedoch eine Metrik voraus. Kompaktheit kann man dagegen in einer abstrakteren Weise definieren, die nicht mehr als eine beliebige Topologie voraussetzt.

Definition

Eine Teilmenge M eines topologischen Raums E heißt kompakt, wenn aus jeder vorgegebenen offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann.

Dabei bedeutet:

• offene Überdeckung von M: eine Familie von offenen Mengen , deren Vereinigung M enthält,

• endliche Teilüberdeckung: eine Auswahl , deren Vereinigung immer noch M enthält.

Bemerkungen:

• Nichttrivial ist an dieser Definition allein die Forderung, dass die Teilüberdeckung endlich sein muss. Darin liegt zugleich eine wesentliche Motivation für die Einführung des Begriffs Kompaktheit: kompakte Räume verhalten sich in mancher Hinsicht wie endliche Mengen.
• Ein topologischer Raum M, der kompakt in sich selbst ist (M als kompakte Teilmenge von M), ist auch kompakt in jedem Oberraum von M. Umgekehrt ist jede kompakte Teilmenge auch kompakt in sich selbst. Das rechtfertigt es, wie in der Einleitung vorweggenommen, eine kompakte Menge M ohne Bezug auf einen Oberraum als kompakten Raum zu bezeichnen.
• Einige Autoren verwenden für die hier definierte Eigenschaft den Begriff "quasikompakt" und reservieren den Begriff "kompakt" für kompakte Hausdorff-Räume; in der Wikipädie aber folgen wir der üblichen Praxis, dass kompakte Räume nicht zwingend Hausdorff-Räume sind.

Beispiele

Die folgenden Räume sind kompakt:

• Das geschlossene Einheits-Intervall [0,1] (jedoch nicht das halboffene Intervall [0,1)).
• Die n-Kugel, für alle natürlichen Zahlen n.
• Die Cantor-Menge (und die p-adischen Zahlen, welche homöomorph zur Cantor-Menge sind).
• Jeder beliebige endliche topologische Raum.
• Betrachte die Menge 2^N aller Folgen mit Werten aus {0,1}. Man kann sie in einen metrischen Raum verwandeln, indem man d((x_n),(y_n)) = 1/k definiert, wobei k der kleinste Index ist, so dass x_k ? y_k (falls es keinen solchen Index gibt, so sind die beiden Folgen identisch und man definiert ihren Abstand als Null). Dann ist 2^N ein kompakter Raum, ein Folgerung aus dem Satz von Tychonoff (siehe unten ). Diese Konstruktion kann für jede endliche Menge durchgeführt werden, nicht nur für {0,1}. Der entstehende metrische Raum ist dabei sogar ultrametrisch.
• Das Spektrum eines beliebigen stetigen linearen Operators auf einem Hilbertraum ist eine kompakte Teilmenge von C.
• Das Spektrum eines beliebigen kommutativen Ringes oder einer booleschen Algebra.
• Der Hilbert Würfel.

Die folgenden Räume sind nicht kompakt:

• das halboffene Intervall [0,1).
• R selbst.
• Jedes echte Intervall (also mit mehr als einem Punkt) in Q.

Eigenschaften

Einige Sätze beziehen sich auf Kompaktheit (siehe Topologie-Glossar für Definitionen):

• Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt. Folglich nimmt eine stetige Funktion auf einem Kompaktum ein globales Minimum und ein globales Maximum an.

• Jede unendliche Folge von Elementen einer kompakten Menge besitzt einen Häufungspunkt. Schärfer: Es existiert eine in K konvergente Teilfolge . (Satz von Bolzano-Weierstraß)
  Die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem topologischen Raum, das heißt eine Teilmenge, in der jede Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge hat (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt, siehe unten), muss nicht kompakt sein. (Ein Beispiel bildet die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der Ordnungstopologie??)

• Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt.

• Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen.

• Eine nicht-leere kompakte Teilmenge der reellen Zahlen hat ein größtes und ein kleinstes Element (siehe auch Supremum).

• Für jede Teilmenge M des euklidischen Raumes Rⁿ sind die folgenden drei Aussagen äquivalent (vergleiche Satz von Heine-Borel):
  • M ist kompakt, das heißt jede offene Überdeckung von M hat eine endliche Teilüberdeckung.
  • Jede Folge in der Menge M hat eine in M konvergente Teilfolge.
  • Die Menge M ist abgeschlossen und beschränkt.

• Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig und total beschränkt ist.

• Das Produkt einer beliebigen Klasse von kompakten Räumen ist kompakt. (Satz von Tychonoff -- dies ist äquivalent zum Auswahlaxiom)

• Ein kompakter Hausdorff-Raum ist normal.

• Jede stetige bijektive Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus.

• Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jede Folge in dem Raum eine Teilfolge mit Grenzwert in dem Raum hat.

• Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jedes Netz auf dem Raum ein Teilnetz hat, das einen Grenzwert in dem Raum hat.

• Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder Filter auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung besitzt.

• Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder Ultrafilter auf dem Raum konvergiert.

• Ein topologischer Raum kann in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden genau dann, wenn er ein Tychonoff Raum ist.

• Jeder topologische Raum X ist ein dichter Unterraum eines kompakten Raumes, der höchstens einen Punkt mehr besitzt als X. (Siehe auch Kompaktifizierung.)

• Ein metrischer Raum X ist kompakt genau dann, wenn jeder zu X homöomorphe metrische Raum vollständig ist.

• Falls der metrische Raum X kompakt ist und eine offene Überdeckung von X gegeben ist, dann existiert eine Zahl ? > 0, so dass jede Teilmenge von X mit Durchmesser < ? in einem Element der Überdeckung enthalten ist. (Zahlen-Lemma von Lebesgue)

• Falls ein topologischer Raum eine Subbasis hat, so dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat, so ist der Raum kompakt. (Alexanders Subbasis-Satz)

• Zwei kompakte Hausdorff-Räume X₁ und X₂ sind homöomorph genau dann, wenn ihre Ringe von stetigen reell-wertigen Funktionen C(X₁) und C(X₂) isomorph sind.

Andere Formen von Kompaktheit

Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind, aber inäquivalent in allgemeinen topologischen Räumen. Diese beinhalten die folgenden:

• Folgenkompakt: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.

• Abzählbar kompakt: Jede abzählbare offene Abdeckung hat eine endliche Unterabdeckung. (Oder, äquivalent, jede unendliche Teilmenge hat einen ?-Häufungspunkt.)

• Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem Raum ist beschränkt.

• Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat einen Häufungspunkt.

Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:

• Kompakte Räume sind abzählbar kompakt.
• Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt.
• Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.

Siehe auch: Topologie-Glossar