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In der Mathematik bezeichnet die Kommutatorgruppe (oder
Kommutator-Untergruppe) zu einer Gruppe G diejenige Untergruppe, die von den Kommutatoren von G
erzeugt wird:
![K(G) = \langle\{[a,b]\ |\ a,b\in G\}\rangle](lexikon/Mathematik-Algebra-Gruppentheorie-Kommutatorgruppe-0.png)
Beispiele
Die Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe
S3 ist K(S3) = {id, (1,2,3), (1,3,2)}. Deren Kommutatorgruppe ist trivial:
K(K(S3)) = {id}.
Höhere Kommutatorgruppen
Es sei K0(G) = G. Dann definiert man die n + 1-te Kommutatorgruppe durch Kn + 1(G) =
K(Kn(G)).
Eigenschaften
K(G) ist Normalteiler von
G.
Die Größe der Kommutatorgruppe wird als Maß für die Kommutativität einer Gruppe genommen. G ist genau dann abelsch, wenn K(G) =
{e}.
Die Faktorgruppe G /
K(G) ist stets abelsch, und für jeder Normalteiler
N gilt:
- G / N ist genau dann abelsch, wenn
 .
Das heißt, die Kommutatorgruppe ist der kleinste Normalteiler, für den die Faktorgruppe abelsch ist.
Gibt es zu einer Gruppe G ein  so dass Kn(G) = {e}, so nennt man G auflösbar.
Eingeordnet unter: Gruppentheorie |
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