In der Algebra ist die Kleinsche Vierergruppe die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie ist benannt nach Felix Klein und wird oft mit dem Buchstaben V bezeichnet.

Ihre Verknüpfungstabelle ist diese:

Die Vierergruppe tritt z.B. auf als Symmetriegruppe eines Rechtecks:

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Die vier Elemente sind dabei: die Identität, die Spiegelung an der waagerechten Mittelachse, die Spiegelung an der senkrechten Mittelachse, und die 180 Grad-Drehung um den Mittelpunkt.

Die drei Elemente ungleich der Identität haben die Ordnung 2. Die Vierergruppe ist abelsch und isomorph zu Z/2Z × Z/2Z und zur Diedergruppe der Ordnung 4.

Eine Permutationsdarstellung von V liefert die Nummerierung der Ecken des obigen Rechtecks:

V = {id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

In dieser Darstellung ist V ein Normalteiler der alternierenden Gruppe A₄ und auch der symmetrischen Gruppe S₄. In der Galoistheorie erklärt die Existenz der Kleinschen Vierergruppe in dieser Darstellung die Existenz der Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades.

Man kann die Vierergruppe auch darstellen als Automorphismengruppe des folgenden Graphen:

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