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Kartesisches Koordinatensystem

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Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem, dessen Koordinatenlinien Geraden in konstantem Abstand sind.

Das kartesische Koordinatensystem ist benannt nach seinem Erfinder René Descartes, nach seinem latinisierten Namen Cartesius. Es handelt sich um das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, da sich in diesem geometrische Sachverhalte am besten beschreiben lassen.

Die horizontale Achse wird als x-Achse, Abszisse oder Rechtsachse bezeichnet. Die vertikale Achse heißt entsprechend y-Achse, Ordinate oder Hochachse.

Ebenes (2-dimensionales) kartesisches Koordinatensystem mit 2 Punkten P und Q und ihren Koordinaten

Koordinatentransformation zwischen kartesischen Koordinatensystemen

Will man bei einem Koordinatensystem die Maßstäbe ändern, müssen die Koordinaten aller Punkte umgerechnet werden. Dabei bleiben die Verhältnisse der Strecken zueinander bestehen. Es gilt für einen Punkt auf der y-Achse:

$\frac{y_{neu}-y_{minneu}}{y_{maxneu}-y_{minneu}} = \frac{y_{alt}-y_{minalt}}{y_{maxalt}-y_{minalt}}$

Dabei sind die alt-Werte die Werte aus dem bekannten Koordinatensystem, die neu-Werte die Werte des neuen Koordinatensystems. Löst man die Gleichung nach $y n e u$ auf, hat man den y-Wert der im neuen Koordinatensystem einzuzeichnen ist.

Für die x-Werte gilt entsprechendes:

$\frac{x_{neu}-x_{minneu}}{y_{maxneu}-x_{minneu}} = \frac{x_{alt}-x_{minalt}}{x_{maxalt}-x_{minalt}}$

Dieses Transformationsproblem tritt beispielsweise am PC auf, wenn in einer Programmiersprache kein Befehl für die Koordinatenumrechnung vorhanden ist. Dann muss man alle x- und y-Werte transformieren , so dass sie der PC richtig darstellt.

Beispiel

Um die Funktion $y = sin(x)$ auf einem PC darstellen zu können, will man den maximalen y-Wert bei 2 und den minimalen y-Wert bei -2 haben. Bei diesem Computer beträgt z.B. der maximale y-Wert 100 und der minimale y-Wert 0. Die x-Koordinaten sollen unverändert bleiben.

Dann ist bekannt

y a l t = sin(x a l t)

y m a x a l t = 2

und

y m i n a l t = - 2

Weiterhin ist bekannt

y m a x n e u = 100

y m i n n e u = 0

Gesucht sind die $y n e u$ -Werte für $sin(x n e u)$ , wobei $x n e u = x a l t$ .

Man kann obige Verhältnisformel nach $y n e u$ auflösen und ist am Ziel.

$y_{neu} - y_{minneu} = \frac{y_{alt} - y_{minalt}}{y_{maxalt} - y_{minalt}} * (y_{maxneu} - y_{minneu})$

$y_{neu} = \frac{y_{alt} - y_{minalt}}{y_{maxalt} - y_{minalt}} * (y_{maxneu} - y_{minneu}) + y_{minneu}$

Statt $y a l t$ setzt man jetzt die gesuchte Funktion ein: $y a l t = sin(x)$ . Dann erhält man insgesamt:

$\begin{matrix}y_{neu}&=&\frac{\sin(x) - (-2)}{2 - (-2)} * (100 - 0) + 0\\ \ &=&\frac{\sin(x) + 2}{4}* 100\\ \ &=&25*\sin(x) + 50\end{matrix}$ .

Man beachte

Beim PC liegt der Nullpunkt der y-Achse im linken oberen Eck und die y-Koordinate wird mit positiven Werten nach unten aufgetragen. Mit der obigen Rechnung würde das Bild jetzt auf dem Kopf stehen.

Um dieses Problem zu vermeiden, muss man $y m a x n e u = 0$ und $y m i n n e u = 100$ setzen und erhält dann

$\begin{matrix}y_{neu}&=&\frac{\sin(x) - (-2)}{2 - (-2)} * (0 - 100) + 100\\ \ &=&\frac{\sin(x) + 2}{4} * (-100) + 100\\ \ &=&100 - 25 * (\sin(x)+2)\\ \ &=&100 - 25 * \sin(x) - 50\\ \ &=&50 - 25*\sin(x)\end{matrix}$ .

bild:Koordinatentransformation_PC.PNG

Beispiel für eine Koordinatentransformation

In Visual Basic gibt es für die Koordinatensystemumrechnung den Befehl scale bzw scalemode.

Siehe auch: Polarkoordinaten

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