Die Julia-Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia beschrieben, sind oft Fraktale Mengen in der komplexen Zahlenebene.

Eine einfache und bekannte Art von Julia-Mengen wird durch folgender Rekursion definiert: Mit zwei komplexen Zahlen, c und z₀, sei

z_n+1 = z_n² + c.

Für einen gegebenen Wert von c ist die Julia-Menge dann die Menge aller komplexer Zahlen z₀, deren Betrag nach beliebig vielen Iterationsschritten beschränkt bleibt. Man kann nachweisen, dass eine solche Iterationsfolge immer weiter anwächst, sobald ein Iterationsglied den Betrag 2 überschreitet.

Insofern gibt es also für jeden komplexen Zahlenwert c eine Julia-Menge.

Beziehung zur Mandelbrot-Menge

Julia-Mengen haben einen engen Bezug zur Mandelbrot-Menge. Jene ist die Menge der c, für die obige Rekursion (z_n+1 = z_n² + c) beschränkt bleibt, wenn man z₀ = 0 wählt.

Die Mandelbrotmenge ist gewissermaßen eine Beschreibungsmenge der Juliamengen. Wenn man die Mandelbrotmenge graphisch darstellt, entspricht jedem Punkt c in der komplexen Zahlenebene eine Juliamenge. Eigenschaften der Julia-Menge lassen sich an der Lage des Punktes innerhalb der Mandelbrot-Menge abschätzen. Wenn der Punkt c Teil der Mangelbrot-Menge ist, dann ist die Julia-Menge zusammenhängend. Andernfalls ist die Julia-Menge eine Cantormenge unzusammenhängender Punkte. Falls c auf dem Rand der Mandelbrotmenge liegt, dann ähnelt die entsprechende Juliamenge in kleinen Umgebungen um c der Mandelbrot-Menge.

Graphische Darstellung der Julia-Mengen

In graphischen Darstellungen der Julia-Mengen in der 2-dimensionalen komplexen Zahlenebene wird die Farbe eines Punktes danach gewählt, wie viele Iterationen notwendig waren, bis der kritische Betrag von 2 überschritten wurde. Alle nicht derartig divergenten Punkte werden schwarz dargestellt.

Verallgemeinerung

Obige Definition kann allgemeiner gefasst werden. Jede Abbildung der komplexen Zahlen aus sich selbst ist geeignet, eine Julia-Menge zu erzeugen. Die Julia-Menge ist dann die kleinste Fixpunktmenge jener Abbildung.

Beispielsweise ist jedes Polynom p(z) vom Grad >= 2 über den komplexen Zahlen geeignet. Der Rand der Menge "{ z | Die Folge ist beschränkt}" ist dann die Julia-Menge von p, kurz J_p.