Jordan-Kurven sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven.

Definition

Eine Jordan-Kurve im euklidischen Raum Rⁿ (z.B. einer Ebene für n = 2) ist eine einfach geschlossene Kurve.

Eine andere Definition ist: Das Bild des Kreises S¹ unter einem Homöomorphismus heißt Jordan-Kurve.

Sei der Weg ? gegeben mit ?(t) = (x₁(t), ..., x_n(t)) und ? ? t ? ?. Gilt ?(t₁) ? ?(t₂) für alle t₁, t₂ im halboffenen Intervall [?, ?) und ist ?(?) = ?(?), dann heißt ? ein einfach geschlossener Weg oder Jordan-Weg. Eine Kurve, die durch einen Jordan-Weg parametrisiert werden kann, ist eine Jordan-Kurve.

Ein injektive Weg ? (der dann nicht geschlossen sein kann) wird manchmal als offener Jordan-Weg bezeichnet. Eine Kurve, die durch einen injektiven Weg parametrisiert werden kann, heißt einfache Kurve, manchmal auch offene Jordan-Kurve.

Sonderfälle

Ist C eine Jordan-Kurve der Ebene, sind die Koordinatenfunktionen x = x(t) und y = y(t) in [?, ?] stetig differenzierbar und gilt

für alle t in [?, ?], dann heißt C eine glatte Kurve. Anschaulich hat eine glatte Kurve keine Knickstellen.

Für eine stetig differenzierbare Jordankurve C in anderen Räumen gelten entsprechende Formeln: C heißt glatt, wenn die euklidische Norm der Ableitung ungleich 0 ist.

Beispiele

Der Einheitskreis mit der Parametrisierung ?(t) = (cos(t), sin(t)), t in [0, 2?] ist eine glatte Jordan-Kurve.

Der Weg ?(t) = (cos(t), sin(t)) mit t in [0, 3?] liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung kein Jordan-Weg, da z.B. ?(1) = ?(2?+1).

Das Einheitsquadrat ist eine Jordan-Kurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.

Die Kurve ?(t) = (t, 0) mit t in [0, 1] ist eine offene Jordankurve.

Keine Parametrisierung der Ziffern 6 oder 8 in der Ebene ist eine Jordankurve.

siehe auch:

• Jordanscher Kurvensatz
• Kurve