In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf "bedeutungsgleiche" Teile der anderen Struktur umkehrbar eindeutig (auch bijektiv genannt) abgebildet werden.

Für weitere Bedeutungen siehe auch Isomorphie.

Definition

Eine Funktion f zwischen zwei Strukturen heißt Isomorphismus, wenn:

• f bijektiv ist,
• f ein Homomorphismus ist,
• die Umkehrfunktion f^-1 ein Homomorphismus ist.

Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Strukturen, dann heißen die beiden Strukturen zueinander isomorph. Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise "dasselbe", nämlich dann, wenn man von der Darstellung der Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen der Relationen und Verknüpfungen absieht.

Man beachte, dass bei Gruppen, Ringen, Körpern, Vektorräumen und einigen anderen Strukturen die dritte Bedingung aus den anderen beiden folgt, man im allgemeinen jedoch nicht auf sie verzichten kann, was im Artikel Homöomorphismus an einem Beispiel gezeigt wird.

Oft kann man bestimmte Strukturen nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen, wie z.B.

• den Quotientenkörper eines Integritätsringes,
• den einzigen endlichen Körper der Ordnung pⁿ,
• den algebraischen Abschluss eines Körpers,
• die Vervollständigung eines metrischen Raums.

Isomorphismen werden in der Mathematik gern ausgenutzt, um einen leichteren Rechenweg zu beschreiten. Durch die oben genannten Definitionen (bijektiv) ist dies möglich.

z.B.: Laplacetransformation; s-Transformation

Beispiele

Sind (X, *) und (Y, +) Mengen mit einer binären Verknüpfung, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f: X -> Y mit

f(u) + f(v) = f(u * v)

für alle u, v in X.

z.B.: log(5) - log(2) = log(5 / 2)

Sind die Strukturen Gruppen, dann heißt ein solcher Isomorphismus Gruppenisomorphismus. Meist meint man mit Isomorphismen solche zwischen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen.

Sind (X, <=) und (Y, {=) total geordnete Mengen, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f mit der Eigenschaft

f(u) {= f(v) genau dann, wenn u <= v,

für alle u, v in X. Eine solche Bijektion ist also streng monoton wachsend. Solchen Isomorphismen nennt man ordnungserhaltende Bijektionen. Sie spielen in der Theorie der Ordinalzahlen eine wichtige Rolle.

Sind (X, d) und (Y, D) metrische Räume, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f mit der Eigenschaft

D(f(u), f(v)) = d(u, v)

für alle u, v in X. Solche Isomorphismen nennt man Isometrien.

In der universellen Algebra kann man eine allgemeine Definition eines Isomorphismus angeben, die diese und andere Situationen abdeckt. Die Definition eines Isomorphismus in der Kategorientheorie ist noch allgemeiner.

Lässt man in den gegebenen Beispielen die Forderung der Bijektivität weg, erhält man jeweils Homomorphismen.

Siehe auch: Morphismus, Isomorphie von Graphen