Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Sie beschäftigt sich anschaulich gesprochen mit der Berechnung von Flächen unter einem Funktionsgraphen.

Mit der Operation Integration ordnet man einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich ihr Integral zu. Das Integral wird elementar als die Fläche unter dem Graphen der Funktion gedeutet. Je nachdem, ob der Integrationsbereich endlich oder unendlich ist, heißt das Integral bestimmt oder uneigentlich.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können. Die Stammfunktion einer Funktion wird auch deren unbestimmtes Integral genannt.

Integration ist die inverse Operation zur Differentiation, sie bestimmt die Stammfunktion als die Inverse der Ableitung. Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, Partielle Integration) oder/und Nachschlagen in einer Tabelle. Oft erfolgt Integration auch numerisch als so genannte Quadratur. In der Technik benützt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte Planimeter, bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.

Bestimmtes Integral

Die Integralrechnung entstand aus dem Problem, die Fläche zwischen dem Graphen einer reellwertigen Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall von a bis b zu berechnen. Falls die Fläche sinnvoll bestimmt werden kann, nennt man die Funktion im Intervall integrierbar. Die reelle Zahl A, die die Größe der Fläche angibt, heißt dann das bestimmte Integral von f(x) über dem Intervall:

Der Flächeninhalt ist "orientiert", d.h. falls der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse liegt, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ. Das Integral wechselt ebenfalls das Vorzeichen, wenn die untere und obere Integrationsgrenze vertauscht werden. Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen x-Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen "Treppenstufen" angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen. Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten "Riemann-Summen". Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.

Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme läßt sich durch das Produkt aus der -- ebenfalls von Riemann eingeführten -- totalen Variation und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen einen bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist.

Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.

Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es für solche Funktionen nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl für jede Sprunghöhe endlich ist.

Notation

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben S für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation f(x) dx deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe f(x) und der infinitesimalen Breite dx zusammensetzt. Dieses dx wird Differential genannt. Es kommt auch in der Leibniz'schen Ableitungsnotation df/dx vor und wird in der Theorie der Differentialformen verallgemeinert.

Die Genialität dieser Notation zeigt sich zum Beispiel darin, dass das multiplikativ zu lesende dx stets garantiert, dass Integrale in der Physik dimensionsrichtig angesetzt werden. Zum Beispiel lautet die Definition der Energie E als Kraft F mal Weg s für wegabhängige Kräfte F(s):

Wenn man weiß, dass s in m und F in N gemessen wird, kann man sofort ablesen, dass E die Einheit Nm hat.

Überdies ist dx eine mnemotechnische Hilfe bei der Integration durch Substitution.

In der Elementarmathematik werden Integralzeichen und Differential meistens wie eine Klammer um die Integrandfunktion geschrieben. In anspruchsvollerem Kontext hat es Vorteile, das Differential vor den Integranden zu schreiben: mehrdimensionale Integrale werden so leichter lesbar, und man hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist. Jedenfalls gilt:

Verallgemeinerung: mehrdimensionale Integrale

Den Integralbegriff kann man recht einfach für den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der die Integrandfunktion f operiert, nicht die Zahlengerade R, sondern der n-dimensionale Euklidische Raum Rⁿ ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen V darf man nach dem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind:

Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in x, y und z muss man aus der Begrenzung des Volumens V ermitteln. In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik lässt man mehrdimensionale Integrale am liebsten über den gesamten, unendlichen n-dimensionalen Raum laufen; die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens V überall 0 ist.

Verallgemeinerung: Integration in der komplexen Ebene

In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben: denn zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch beliebige Pfade miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Linienintegral. Für geschlossene Pfade gilt der Residuensatz, das wahrscheinlich erstaunlichste Resultat von Cauchy: das Integral entlang einem geschlossenen Pfad hängt allein von den umschlossenen Singularitäten ab.

Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation

Bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, z.B. Funktionen mit oszillierenden Singularitäten wie oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall [0,1] erweist sich das Riemann-Integral als untauglich. Erweiterte Integralbegriffe (die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren) wurden von Henri Leon Lebesgue, Stieltjes und Alfred Haar eingeführt.

Uneigentliches Integral

Ein Sonderfall des bestimmten Integrals ist das uneigentliche Integral, bei dem die Fläche nicht an beiden Seiten begrenzt ist. Gesucht ist also:

oder

Obwohl die eingeschlossene Fläche durch keine endliche Linie begrenzt ist, kann der Flächeninhalt bei geeigneten Funktionen durchaus endlich sein. Beispiele hierfür sind die Gaußsche Glockenkurve und die Funktion 1/x².

Für manche Funktionen (wie z.B. die erwähnte Gaußkurve) ist auch das beidseitig uneigentliche Integral definiert:

Andere uneigentliche Integrale entstehen, wenn die Funktion im Integrationsbereich divergiert.

Unbestimmtes Integral

Es stellt sich heraus, dass die Integralrechnung sehr eng mit der Differentialrechnung zusammenhängt.

Eine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) ist jede Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt. Da beim Differenzieren additive Konstanten wegfallen, gilt: Ist F(x) ein Stammfunktion von f(x), so ist es auch F(x) + C mit beliebigem C aus den reellen Zahlen. Außer F(x) + C gibt es keine weiteren Stammfunktionen zu f(x), d.h. zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine additive Konstante.

Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist nun die Menge aller Stammfunktionen von f(x):

Zusammenhang - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Jede Funktion A(x), die den Flächeninhalt unter der Kurve von einer festen Untergrenze a bis zur variablen Obergrenze x angibt, also

entspricht einer bestimmten Stammfunktion von f(x).

Daraus ergibt sich, dass man jedes bestimmte Integral als eine Differenz zweier Stammfunktionen der zu integrierenden Funktion berechnen kann, da die additiven Konstanten bei der Subtraktion wegfallen (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung):

Anschaulich kann man das so verstehen:

Das Integral liefert die Fläche unter der Funktionskurve. Die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze sagt also, wie stark sich die Fläche ändert, wenn die rechte Integrationsgrenze verschoben wird, relativ zur Größe der Verschiebung dieser Grenze.

Wenn man nun aber die obere Grenze um einen sehr kleinen Betrag verschiebt, dann ändert sich die Fläche um ein kleines Rechteck, dessen Breite die Verschiebung der Grenze, und dessen Höhe der Funktionswert an dieser Stelle ist. Dessen Flächeninhalt ist natürlich das Produkt der beiden Längen, und Division durch die Verschiebung (= die Breite des Rechtecks) ergibt dann gerade wieder den Funktionswert. Da also die Ableitung der Integralfunktion wieder die integrierte Funktion ergibt, ist die Integralfunktion per Definitionem eine Stammfunktion derselben.

Eigenschaften des Integrals

In der formalen Sprache der Mathematik ist das Integral ein lineares Funktional über dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen. Die Linearität besagt, dass das Integral der Summe zweier Funktionen f(x) und g(x) genau der Summe der Integrale der Funktionen ist:

und dass das Integral des Vielfachen einer Funktion (Multiplikation mit einer Konstanten) das entsprechende Vielfache des Integrals ist:

Eine wichtige Eigenschaft des bestimmten Integrals besteht darin, dass sich beim Vertauschen der Integrationsgrenzen das Vorzeichen ändert:

Die Umformung

die man als ein geschlossenes Pfadintegral auffassen kann, zeigt, dass es sich hierbei um einen Spezialfall des Integralsatzes von Cauchy (Cauchyscher Integralsatz) handelt: Sei f(z) eine stetig differenzierbare komplexe Funktion in einem einfach zusammenhängenden offenen Gebiet der Ebene, dann ist für jede stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve das Integral über f(z) entlang dieser Kurve gleich 0.

Weitere Eigenschaften des Integrals:

• Integralform der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
• Mittelwertsatz der Integralrechnung

Berechnung von Stammfunktionen

Im Gegensatz zur Berechnung der Ableitungsfunktion ist die Berechnung der Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwer oder nicht möglich.

Oft schlägt man Integrale in Tabellenwerken nach. Für einfache Fälle siehe unsere Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen.

Partielle Integration

Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung.

Folglich gilt:

oder das Selbe, wie man es in vielen Mathematikbüchern finden kann:

Diese Regel ist insbesondere dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von f(x) eine einfachere Funktion entsteht.

Beispiel:

Setzt man

und ,

so ist

und

und man erhält

Integration durch Substitution

Sei und G eine Stammfunktion von g, so ist und somit eine Stammfunktion von F, denn:

Das Erraten geeigneter Substitutionen ist vor allem Erfahrungssache.

Bei gewissen Integralen wie

kann man Winkelfunktionen und den trigonometrischen Pythagoras nutzen.

Es ist darauf zu achten, dass die Grenzen des Integrals nun nicht mehr für dx, sondern für dt gelten (t = acos(x)).

Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Numerische Quadratur

Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, die Fläche näherungsweise zu berechnen. Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen, zum Beispiel Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel sind Beispiele dafür.

Anwendungen der Integralrechnung

Zusätzlich zu Berechnung von Flächen hat die Integralrechung unter anderem folgende Anwendungsgebiete:

Berechnung

• von Rauminhalten
• der Länge eines Kurvenbogens
• von Oberflächen
• des Durchschnittswertes von kontinuierlichen Funktionen.

Beispiel für den Integralbegriff in der Physik

Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integrallbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Bekanntlich beträgt die Beschleunigung g des freien Falls ca. 9,81 m / s².

Die Geschwindigkeit v eines Körpers lässt sich daher durch die Formel

ausdrücken.

Nun soll aber die Wegstrecke l berechnet werden, die der Körper nach einer bestimmten Zeit t im freien Fall zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit v des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne ?t die Geschwindigkeit v, die sich aus gt ergibt, konstant bleibt.

Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums ?t beträgt daher

Die gesamte Wegstecke lässt sich daher als

ausdrücken.

Wenn man nun die Zeitdifferenz ?t gegen Null streben lässt, erhält man

Aus der Bewegungsgleichung

lässt sich durch Differenzieren die Gleichung

für die Geschwindigkeit und durch nochmaliges diffenzieren

für die Beschleunigung erhalten.

Links

• http://www.mathe-online.at/galerie/int/int.html - Visualisierungen zum Thema Integral