In der Mathematik ist eine Infinitesimalzahl eine Zahl, deren absoluter Betrag größer ist als Null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl.

Eine Zahl x ungleich 0 ist genau dann eine Infinitesimalzahl, wenn jede beliebige Summe von endlich vielen Gliedern des Betrages dieser Zahl kleiner als 1 ist:

|x| + ... + |x| < 1 für jede endliche Anzahl von Summanden.

In diesem Fall ist |1/x| größer als jede beliebige positive reelle Zahl.

Eine Infinitesimalzahl ist nur eine begriffliche Größe. Es existiert keine reelle Infinitesimalzahl. Das kann man folgendermaßen zeigen:

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen hat eine obere Grenze (die kleinste obere Schranke, das Supremum). Wenn es reelle Infinitesimalzahlen gibt, dann bilden sie eine nichtleere, nach oben durch 1 beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen. Untersuchen wir, ob die obere Grenze c aller Infinitesimalzahlen eine Infinitesimalzahl ist oder nicht. Wenn ja, dann ist auch 2c eine Infinitesimalzahl, das widerspricht aber dem Fakt, dass c eine obere Schranke der Infinitesimalzahlen ist. Wenn nicht, dann ist auch c/2 keine Infinitesimalzahl, was dem Fakt widerspricht, dass unter allen oberen Schranken der Infinitesimalzahlen c die kleinste ist. Es ergibt sich also ein Widerspruch, aus dem folgt, dass es keine reellen Infinitesimalzahlen gibt.

Der erste Mathematiker, der solche Zahlen nutzte, war wohl Archimedes, obwohl er nicht an ihre Existenz glaubte.

Newton und Leibniz nutzen die Infinitesimalzahlen, um ihr Kalkül der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) zu entwickeln.

Typischerweise argumentierten sie so:

Um die Ableitung f' (x) der Funktion f(x) = x², nehmen wir an, dx sei infinitesimal. Dann ist

weil dx infinitesimal klein ist.

Obwohl dieses Argument intuitiv einleuchtet und richtige Ergebnisse liefert, ist es mathematisch nicht exakt: Das grundlegende Problem ist, dass dx zunächst als ungleich Null betrachtet wird (wir teilen durch dx) und später wird es betrachtet, als sei es gleich Null. Die Nutzung von Infinitesimalzahlen wurde von Bischof George Berkeley kritisiert in seinem Werk: The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician (1734).

Erst im neunzehnten Jahrhundert wurde durch Karl Weierstraß und andere dem Differentialkalkül eine mathematisch strenge formale Form gegeben. Sie führten Grenzwertbetrachtungen ein, die die Nutzung infinitesimaler Größen überflüssig machten.

Trotzdem wurde die Nutzung der Infinitesimalzahlen weiterhin als nützlich für die Vereinfachung von Darstellungen und Berechnungen betrachtet.

In der Nichtstandardanalysis von Abraham Robinson sind Infinitesimalzahlen legitime Größen. In dieser Analysis kann die oben erwähnte Ableitung von f(x) = x² durch eine geringfügige Modifikation gerechtfertigt werden: Wir sprechen über den Standardteil des Differentialquotienten und der Standardteil von x + dx ist x.

Außerdem kann eine ?synthetische Differentialgeometrie? aufgestellt werden.

Es gibt Zahlbereichserweiterungen der reellen Zahlen, die infinitesimale Zahlen enthalten. Die bekanntesten sind die hyperreellen Zahlen und die surrealen Zahlen.

Siehe auch: Unendlichkeit