Unter einem Hyperwürfel versteht man einen regulären Würfel mit 4 oder mehr Dimensionen.
Der 4-dimensionale Hyperwürfel wird als Tesserakt bezeichnet.

Konstruktion regulärer Würfel

Reguläre Würfel der Kantenlänge a lassen wie folgt erzeugen:

• Wenn ein Punkt um die Distanz a geradlinig verschoben wird, entsteht eine Strecke, der 1-dimensionale Würfel.
• Wenn diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein Quadrat, der 2-dimensionale Würfel.
• Wenn dieses Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein 3-dimensionale Würfel.
• Allgemein: Wenn ein n-dimensionaler Würfel senkrecht zu seinen n Dimensionen um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein (n+1)-dimensionaler Würfel.

Grenzelemente

Der 3-dimensionale Würfel wird von Punkten, Kanten und Flächen begrenzt.
Allgemein: Der n-dimensionale Würfel wird von 0-dimensionalen Punkten, ..., (n-1)-dimensionalen Elementen begrenzt.

Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente läßt sich aus folgenden Überlegungen ableiten.

• Wenn ein (n+1)-dimensionaler Würfel aus einem n-dimensionalen Würfel erzeugt wird, werden durch dessen Verschiebung alle k-dimensionalen Elemente ( k <= n ) verdoppelt.
• Gleichzeitig wird jedes (k-1)-dimensionales Grenzelement zu einem k-dimensionalen erweitert.

Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen n-dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem k-dimensionalen Grenzelement k Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von k Koordinatenachsen nicht nur ein k-dimensionales Grenzelement, sondern 2^n-k, weil man durch jede der n-k zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt die selben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten, k Achsen aus den n Achsen auszuwählen (Binomialkoeffizient ), mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit

Beispiel: Der 3-dimensionale Würfel wird durch Verschiebung eines Quadrats erzeugt.

• Die 4 Kanten des Quadrats werden dadurch verdoppelt.
• Die 4 Eckpunkte des Quadrats werden zu Kanten erweitert.

Der 3-dimensionale Würfel besitzt damit 2 * 4 + 4 = 12 Kanten.

Der Weg zum Hyperwürfel

Alle 0- bis 5-dimensionalen Hyperwürfel in der Parallelprojektion:

Weblinks

• Der n-dimensionale Hyperwürfel ( pdf, 900kB ) (http://www.math.unibas.ch/~walser/Vortraege/Hyperwuerfel.pdf)
• Hyperwürfel und Hyperkugeln (http://www.clandomain.de/c-eagle/logik-mathematik-wuerfel.shtml)
• Erweiterte Grenzelemente-Tabelle (http://home.arcor.de/wzwz.de/wiki/einzel/hypw.htm)