Eine Hyperebene ist die Verallgemeinerung einer normalen Ebene im dreidimensionalen Raum auf ein mathematisches Objekt im n-dimensionalen Raum.

Ebenso wie eine Ebene ein zweidimensionaler Teil des dreidimensionalen Raums ist, ist eine dreidimensionale Hyperebene Teil des vierdimensionalen Raums. Die dreidimensionale Hyperebene selbst ist ein dreidimensionaler (Teil-)Raum.

Ebenen im dreidimensionalen Raum

Für eine Ebene im dreidimensionalen Raum reeller Zahlen R³ gilt die Gleichung:

r_x = r₀ + ?₀ v₀ + ?₁v₁

wobei alle r und v dreidimensionale Vektoren, ?₀ und ?₁ jedoch reelle Zahlen sind. r₀, v₀ und v₁ sind konstant. Wenn ?₀ und ?₁ jeweils den gesamten reellen Zahlenbereich durchlaufen, überstreicht der Vektor r_x alle Punkte der durch die Gleichung gegebenen Ebene.

Voraussetzung hier ist, dass v₀ und v₁ keine Nullvektoren sind und nicht in dieselbe Richtung zeigen. Mathematisch bedeutet dies, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind.

Verallgemeinerung auf Hyperebenen

Eine Hyperebene verallgemeinert die Definition der normalen Ebene in zweifacher Weise:

1. Der Raum muss nicht 3-dimensional sein, sondern kann beliebig viele (n) Dimensionen enthalten. Dazu wird einfach die Zahl Summanden in der Gleichung erweitert.
2. Die n Koordinaten können zwar reell sein, können aber auch aus anderen Zahlenmengen stammen, zum Beispiel komplexwertig sein.

Formale Definition

Eine Hyperebene ist eine (n-1) - dimensionale Teilmenge eines n - dimensionalen Raumes, die die Eigenschaft erfüllt, dass man zum Ortsvektor eines Punktes der Teilmenge jede beliebige Linearkombination von Vektoren, die Differenzen von Ortsvektoren verschiedener Punkte der Teilmenge sind, addieren kann, und das Ergebnis wieder ein Element der Teilmenge ist. Anders ausgedrückt: Eine Hyperebene kann durch (n-1) linear unabhängige Vektoren v_i und einen Ortsvektor r₀ der Hyperebene beschrieben werden, die Hyperebene ist die Menge aller Punkte x für deren Ortsvektoren r_x gilt

r_x = r₀ + ?₀ v₀ + ?₁ v₁ + ... + ?_n-2 v_n-2

mit skalaren Koeffizienten ?_i.

Eine Hyperebene im vierdimensionalen Raum

Eine Hyperebene im vierdimensionalen Raum ist ein dreidimensionaler Raum. Stellt man sich vor, dass wir in einem hypothetischen vierdimensionalen Raum leben, unsere Sinne aber nur drei davon erkennen, hätte dies erstaunliche Konsequenzen:

Dreidimensionaler Raum, Ebene, Zaun und Grundstück

In unserem dreidimensionalen Raum kann man ein Grundstück, also einen Teil einer Ebene, durch einen zum Beispiel rechteckförmigen, jedenfalls geschlossenen Zaun vor dem Betreten schützen. Kann ich mich jedoch nach oben aus der Ebene herausbewegen (also in die dritte Dimension), etwa hüpfen, so kann ich den Zaun überwinden und beliebig unter Umgehung des Zauns auf das Grundstück und wieder herausgelangen, ohne den Zaun zu berühren.

Vierdimensionaler Raum, Hyperebene, Wände und Inhalt

Äquivalent wäre das (dreidimensionale) Volumen im Innern eines Tresors der Teil einer Hyperebene des vierdimensionalen Raums. Die Tresorwände stellen einen Quader dar, der das Äquivalent zum Zaun ist. Kann ich aus der Hyperebene des Tresors, also dem wahrgenommenen dreidimensionalen Raum heraus in die vierte Dimension "hüpfen", kann ich beliebig die Tresorwände umgehen und in den Tresor hinein- und wieder aus ihm herausgehen, ohne die Wände zu berühren oder Spuren zu hinterlassen.