Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

• Sinus Hyperbolicus
• Cosinus Hyperbolicus
• Tangens Hyperbolicus
• Cotangens Hyperbolicus
• Secans Hyperbolicus
• Cosecans Hyperbolicus

Sie sind für alle komplexe Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph.

Definition über die Exponentialfunktion:

Definition über Reihenentwicklung:

sinh(z)	:=
cosh(z)	:=

• Der Ausdruck n! steht für die Fakultät von n
  
• Das Reihenglied ist identisch mit der Zahl z.
• Das Reihenglied ist identisch mit der Zahl 1.

Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen:

Für alle reelle Zahlen r sind auch sinh ( r ) und cosh ( r ) reell.
Die reelle Funktion sinh ist monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.
Die reelle Funktion cosh ist für Werte < 0 streng monoton fallend,
für Werte > 0 streng monoton steigend.

Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen:

sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A := { z | - ?/2 < Imaginärteil von z < + ?/2 }
B := { z | Realteil von z ungleich 0 oder Imaginärteil von z = ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion sinh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A := { z | 0 < Imaginärteil von z < + ? }
B := { z | Imaginärteil von z ungleich 0 oder Realteil von z = ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion cosh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen:

Symmetrie und Periodizität

Für alle komplexen Zahlen z gilt:

• sinh(z) = - sinh( - z), d.h. sinh ist eine ungerade Funktion.
• cosh(z) = cosh( - z), d.h. cosh ist eine gerade Funktion.
• sinh(z) = sinh(z + 2?i)
• cosh(z) = cosh(z + 2?i)

d.h. beide Funktionen sind periodisch mit der Minimalperiode (2?i)

Additionstheoreme

Für alle komplexen Zahlen z1 und z2 gilt:

• sinh ( z1 + z2 ) = sinh ( z1 ) * cosh ( z2 ) + sinh ( z2 ) * cosh ( z1 )
• sinh ( z1 - z2 ) = sinh ( z1 ) * cosh ( z2 ) - sinh ( z2 ) * cosh ( z1 )
• cosh ( z1 + z2 ) = cosh ( z1 ) * cosh ( z2 ) + sinh ( z1 ) * sinh ( z2 )
• cosh ( z1 - z2 ) = cosh ( z1 ) * cosh ( z2 ) - sinh ( z1 ) * sinh ( z2 )

Zusammenhänge

cosh ( z ) ² - sinh ( z ) ² = 1

Alternative Namen:

• Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
• Für sinh sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
• Für cosh sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich.

Abgeleitete Funktionen:

• Tangens Hyperbolicus
• Cotangens Hyperbolicus
• Secans Hyperbolicus
• Cosecans Hyperbolicus

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen