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Hyper4

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Hyper4

hyper4 ist eine mathematische Notation zur Beschreibung von "Potenz-Türmen" und großen Zahlen durch eine Erweiterung der herkömmlichen Operatoren für die Addition, Multiplikation und Potenzierung.

Herleitung der Notation

Die Notation setzt die Folge von Addition ( $+$ ), Multiplikation ( $\cdot$ ) und Potenzierung ( $a b$ ) fort.

Ausgehend von den Beobachtungen

$a + b = 1 + (a + (b - 1))$
$a \cdot b = a + (a \cdot (b - 1))$
$a^b = a \cdot (a^{(b - 1)})$

definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator $a (n + 1) b : = a (n) (a (n + 1) (b - 1))$ mit $a (1) b = a + b$ sowie die Bezeichnungen $\operatorname{hyper\mathit{n}} (a, b) = a ^ {(n)} b$ und $\operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b$

Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz; es gibt dafür auch die Notation $\operatorname{hyper4}(a,b)={}^{b}a$ . Beispiel: $3^{4}3=3^{3}(3^{4}2)=3^{3^{4}2}=3^{3^{3}(3^{4}1)}=3^{3^3}=3^{27} =7625597484987$

Die Familie wurde für $n > 3$ nicht für reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere "offensichtliche" Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

Die hypern-Operatorenfamilie ist eng verwandt mit Knuths Pfeilnotation.

Eine andere Erweiterung

Die obige Erweiterung kann auch auf der entgegengesetzten Seite durchgeführt werden. Ausgehend von

$a + b = a + (b - 1)) + 1$
$a\cdot b = (a\cdot (b-1))+a$
$a^b = (a^{(b-1)})\cdot a$

definiert man $a (n + 1) b = (a (n + 1) (b - 1)) (n) a$ mit $a (1) b = a + b$

Diese Notation "kollabiert" jedoch für $n = 4$ ; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenz-Turm mehr:

$a_{(4)}b = a^{(a^{(b-1)})}$

Wie können sich $a (n) b$ and $a (n) b$ plötzlich für $n > 3$ unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren $+$ und $\cdot$ besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt . (Im Allgemeinen ist $a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{b\cdot c}$ .)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt "niedere hyper-Operatoren" von Interesse ist.

Siehe auch: Ackermannfunktion

Weblinks (englisch)

The Dictionary of Large Numbers (http://home.earthlink.net/~mrob/pub/math/largenum-2.html) (Dictionary's author Robert Munafo claims the (n) notation as his own?it's alright to use it, but it's not a standard.)
Lynz and the Clarkkkkson (http://lab6.com/old/school/yearbook/clarkkkkson.html)
On extending hyper4 to nonintegers (http://users.forthnet.gr/ath/jgal/math/exponents4.html)

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