siehe auch : Komplexe Zahlen || Komplexe Teilmengen

In der reellen Analysis kann man eine Funktion für einzelne Punkte ihres Definitionsbereiches auf die beiden folgenden Eigenschaften überprüfen:

• Die Funktion ist an diesem Punkt differenzierbar.
• Die Funktion lässt sich um diesen Punkt durch eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius darstellen.

Im Gegensatz zur reellen Analysis gelten bei komplexwertigen Funktionen beide Eigenschaften immer gleichzeitig. D. h. eine Funktion ist genau dann in z₀ nach der komplexen Variablen z differenzierbar, wenn sie in z₀ lokal in eine komplexe Potenzreihe entwickelbar ist.

Wenn eine komplexwertige Funktion in einem Punkt diese beiden Eigenschaften besitzt, wird sie als holomorph in diesem Punkt bezeichnet. Als Synonyme für den Begriff holomorph werden gelegentlich die Begriffe analytisch und regulär gebraucht.

Als dritte und gleichwertige Eigenschaft für den Holomorphiebegriff kann man die lokale Gültigkeit der Cauchyschen Integralformel heranziehen.

Viele wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen lassen sich direkt aus den obigen Bedingungen herleiten (beliebig oft differenzierbar, Darstellung der Taylorkoeffizienten, ...).

Holomorphie

Es sei U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C und h eine Funktion, die U auf C abbildet, d. h. zu jedem Punkt z aus U existiert ein komplexer Funktionswert h (z).
Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

0: Die Funktion h ist in allen Punkten von U holomorph, h ist in U holomorph.

1: Die Funktion h ist in allen Punkten von U komplex-differenzierbar.

2: Zu jedem Punkt z₀ in U lässt sich zu jeder abgeschlossenen Kreisscheibe K um z₀, die vollständig in U liegt, jeder Funktionswert von h zu einem inneren Punkt von K durch eine Potenzreihe um z₀ darstellen.

3: Zu jedem Punkt z₀ in U lässt sich zu jeder abgeschlossenen Kreisscheibe K um z₀ mit Rand R, die vollständig in U liegt, jeder Funktionswert von h zu einem inneren Punkt z von K durch ein Integral längs des Randes R darstellen:

4: Die Pompeiu-Wirtinger-Ableitung nach verschwindet auf U, das heißt: für alle gilt:

Anmerkungen

n-fach differenzierbar?

In der reellen Analysis unterscheidet man, wie oft eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist.

Beispielsweise ist f (x) = x · x · |x| für alle reelle Zahlen außer 0 beliebig oft differenzierbar. Im Nullpunkt ist diese Funktion jedoch nur zweifach differenzierbar, d. h. hier existiert zwar die zweite Ableitung von f, diese kann jedoch nicht erneut differenziert werden.

Bei komplexwertigen Funktionen in C gilt dagegen: Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist selbst ebenfalls wieder holomorph und kann damit immer erneut differenziert werden.

Bei einer komplexwertigen Funktionen f in C gilt für einen Punkt z des Definitionsbereiches:

• entweder: f ist in z nicht holomorph und damit überhaupt nicht komplex-differenzierbar.
• oder: f ist in z holomorph und damit beliebig oft komplex-differenzierbar.

Algebraische Eigenschaften

Zu einer nichtleeren offenen Menge U sei H (U) die Menge aller in U holomorpher Funktionen.

Zu zwei beliebigen Funktionen f und g aus H (U) seien Addition und Multiplikation wie folgt punktweise definiert:

• ( f + g ) (z) := f (z) + g (z)
• ( f · g ) (z) := f (z) · g (z)

Dann bildet H (U) zusammen mit definierter Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring. Null- und Eins-Element des Ringes sind die konstanten Funktionen, die jeden Punkt aus U auf 0, bzw. 1 abbilden.

Fordert man weiterhin, dass U zusammenhängend, d. h. ein Gebiet ist, erhält man unter sonst gleichen Bedingungen einen Integritätsring.

Ersetzt man weiterhin H (U) durch die Menge aller nullstellenfreier holomorpher Funktionen in diesem Gebiet, erhält man unter sonst gleichen Bedingungen einen Körper.

Ganze Funktionen

Funktionen, die in der ganzen komplexen Zahlenebene holomorph sind, werden als ganze Funktionen bezeichnet.

Ist f eine ganze Funktion und zusätzlich beschränkt (d. h. es gibt ein C > 0, so dass für alle z gilt: | f(z) | < C, so gilt nach dem Satz von Liouville: f ist auf ganz schon konstant.