Der Hilbertsche Nullstellensatz stellt in der Mathematik in der algebraischen Geometrie die zentrale Verbindung zwischen Idealen und affinen Varietäten her. Er wurde von David Hilbert bewiesen. Die Aussage lautet:

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein Ideal in dann gilt:

Hierbei bedeutet das Radikal von , sowie V(a) die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von , und I(X) das Ideal aller Polynome, die auf X verschwinden.

Die Inklusion ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von f(T)^r ist auch Nullstelle von f(T).

Der Hilbertsche Nullstellensatz liefert also eine 1-1 Beziehung (Bijektion) zwischen affine Varietäten und radikalen Idealen (Idealen, die mit ihrem Radikal übereinstimmen). Dass dies nur für radikale Ideale gilt, zeigt ein einfaches Beispiel: I(V((X²))) = (X).

Neben dieser geometrischen Variante ist auch noch der damit eng zusammenhängende Hilbertsche Nullstellensatz der Körpertheorie bekannt. Diese, auch als Schwacher Nullstellensatz bekannte Aussage, lautet:

Sei K ein Körper, eine endliche Ringerweiterung. Ist L ein Körper, so sind alle x_i algebraisch über K.

Insbesondere folgt daraus, dass jede endliche Körpererweiterung eines algebraisch abgeschlossenen Körpers K, wieder mit K identifiziert werden kann.