Ein Hilbert-Raum (oder Hilbertraum, benannt nach dem Mathematiker David Hilbert) ist ein vollständiger Innenproduktraum.

Ein Innenproduktraum ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen R oder den komplexen Zahlen C mit einem Skalarprodukt. Das Skalarprodukt induziert eine Norm und eine Metrik. Der Innenproduktraum heißt vollständig bezüglich der so induzierten Metrik, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.

Der Hilbert-Raum ist eine Verallgemeinerung des Euklidischen Raums bzw. des Unitären Raums. Wichtig ist der Begriff vor allem bei unendlichdimensionalen Funktionenräumen. Die meisten dieser Räume sind nicht vollständig, weswegen Hilbert-Räume besonders sind. Der hohe Grad an mathematischer Struktur in ihnen vereinfacht die Analysis allerdings ungemein und so spielen sie in der Funktionalanalysis, speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen und damit auch der Physik eine große Rolle. Als Beispiel sei hier die Quantenphysik genannt, wo die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbert-Raum bilden.

Dualraum

Jeder Hilbertraum ist automatisch ein Banach-Raum und hat so alle dessen Eigenschaften. Insbesondere hat jeder Hilbertraum einen Dualraum. Hier gilt allerdings der Rieszsche Darstellungssatz: Jeder Hilbertraum ist isometrisch isomorph zu seinem Dualraum. Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen.

Die Eigenschaft der Isomorphie eines Raums zu seinem Dualraum nennt man Reflexivität. Nach dem oben genannten Satz sind also alle Hilberträume reflexiv.

Beispiele für Hilbert-Räume

• mit dem euklidischen Skalarprodukt.
• mit
• Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen (L²) mit dem L²-Skalarprodukt: . Eine exaktere Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über L^p-Räume. Ein Beispiel eines solchen Raumes ist der oben genannte Raum der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.
• Der Raum aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte.

Noch nicht Ausformuliertes ...

Wichtige Konzepte für den Umgang mit Hilbert-Räumen sind u.a. Orthogonalität, Hilbertraumbasis, Fourierkoeffizient, Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Gleichung, Parallelogrammgleichung

Trivia

An der Georg-August-Universität in Göttingen, wo David Hilbert lange Jahre lehrte und forschte, gibt es einen Hilbertraum, nämlich das Foyer des Mathematischen Institutes, in dem eine Büste des Mathematikers aufgestellt ist. Die amüsante Zweideutigkeit des Namens wird ausländischen Gästen meist nicht klar: im Englischen heißt ein mathematischer Raum space und nicht etwa room.

Links

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)