Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-,Treppen- oder Sprungfunktion genannt, ist eine oft verwendete Funktion in der Mathematik. Die Heaviside-Funktion ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850-1925) benannt.

Setzt man eine beliebige negative Zahl oder aber Null für x ein, so ergibt sich der Wert Null, andernfalls der Wert Eins. Mathematisch formuliert heißt das:

Der Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle x=0 kann man unterschiedlich definieren: Manchmal bleibt sie für x=0 einfach undefiniert, oder man setzt ?(0) = 1/2 damit die Relation

und damit auch

gilt.

Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme des Punktes x=0 überall stetig. Bei x=0 ist ihre Steigung unendlich. Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematischer Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von x=0 den Wert Null hat, rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Die Ableitung der Heaviside-Funktion ist die Diracsche Delta-Funktion, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.