Ein Hausdorff-Raum (benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M, in dem das folgende Trennungsaxiom T₂ (auch Hausdorffeigenschaft genannt) gilt:

Für alle x,y aus M mit x?y existieren disjunkte offene Umgebungen U(x) und V(y).

Mit anderen Worten: jede zwei verschiedenen Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt.

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume

Ein Hausdorff-Raum ist präregulär (R₁):

jede zwei topologisch unterscheidbaren Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt,

und hat die Kolmogoroff-Eigenschaft (T₀):

jede zwei verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar.

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte x und y genau dann, wenn es eine offene Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht.

Beweis:

• Wenn R₁ und T₀ gegeben sind, folgt unmittelbar T₂: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
• Der umgekehrte Schluss von T₂ auf R₁ und T₀ geht so:
  • Aus der Definition von T₂ folgt für verschiedene x, y die Existenz der Menge U(x), die x, aber nicht y enthält, ergo gilt T₀.
  • Seien x, y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist x?y. Dann folgt mit T₂, dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R₁.

Beispiele

So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.

Literatur

B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909