Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebig komplizierten Punktmengen, wie beispielsweise Fraktalen, eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie beispielsweise Strecken, Vielecke, Quader und ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl sondern kann auch ein Bruch sein.

Die folgende Darstellung ist eine vereinfachte Definition der Hausdorff-Dimension für eine Punktmenge endlicher Ausdehnung im dreidimensionalen Raum. Dazu betrachtet man die Anzahl N der Kugeln mit dem Radius R, die mindestens erforderlich ist, um die Punktmenge zu überdecken. Diese Mindestanzahl ist eine Funktion N(R) des Radius R. Je kleiner der Radius ist, umso größer ist N. Aus der Potenz von R mit der N(R) für den Limes R gegen Null anwächst, berechnet sich die Hausdorff-Dimension D und zwar nach

und damit

Anstelle von Kugeln können ebenso gut Würfel oder vergleichbare Objekte verwendet werden. Bei Punktemengen in der Ebene können auch Kreise zur Überdeckung verwendet werden. Bei Punktmengen in mehr als drei Dimensionen müssen entsprechend höherdimensionale Kugeln verwendet werden.

Für eine gewöhnliche endliche Kurve wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln umgekehrt proportional zum Kugelradius. Eine Kurve hat daher die Hausdorff-Dimension D=1. Für eine gewöhnliche endliche Fläche wie beispielweise ein Rechteck wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln dagegen proportional zu 1/R². Es gilt daher D=2.

Für den Spezialfall eines geometrischen Objekt, welches aus n disjunkten Teilobjekten besteht, die im Maßstab 1:m verkleinerte Kopien des Gesamtobjekts darstellen, ergibt sich für die Hausdorff-Dimension D=log(n)/log(m).

Beispiele:

1. Ein Quadrat setzt sich aus 9 Quadraten von 1/3 Größe zusammen, seine Hausdorff-Dimension ist D=log(9)/log(3)=2.
2. Die Koch-Kurve, ein Fraktal, besteht aus 4 jeweils im Maßstab 1:3 verkleinerten Kopien der Gesamtkurve. Es ergibt sich nach D=log(4)/log(3)=1,2618595... eine nicht-ganzzahlige Dimension.

Haben die n Teilobjekte verschiedene Größe, so ist D durch 1/m(1)^D+1/m(2)^D+...+1/m(n)^D=1 definiert, wobei 1/m(i) die einzelnen Maßstäbe sind (i=1,...,n).

Siehe auch: Hausdorff-Metrik, Hausdorff-Raum