In der Mathematik ist eine Hamelbasis eines Vektorraumes V eine Teilmenge B mit den Eigenschaften:

• Sie ist linear unabhängig, d.h. falls eine endliche Linearkombination aus B den Nullvektor liefert, sind alle Koeffizienten gleich 0.
• Jeder Vektor von V lässt sich als endliche Linearkombination aus B darstellen.

Mathematiker sind hier meist schnell dabei, zu sagen, die Endlichkeit einer Linearkombination ist bereits Bestandteil ihrer Definition; aber dies vergisst man schnell bei der Arbeit in unendlichdimensionalen unitären Vektorräumen. Darauf gehen wir weiter unten noch ein.

Der Begriff der Hamelbasis ist identisch mit dem Begriff der Basis eines Vektorraums aus der linearen Algebra.

Orthonormalbasis ist nicht notwendig Hamelbasis

In der Funktionalanalysis lernt man beim Studium von Fourierreihen, dass die Funktionen

eine Orthonormalbasis des Vektorraums V aller komplexwertigen Funktionen sind, deren Quadrat im Intervall [0, 2?] (Riemann-)integrierbar ist, d.h. aller Funktionen f mit der Eigenschaft

Die Funktionen in B sind linear unabhängig und jede in dem Intervall quadrat-integrierbare Funktion ist eine "unendliche Linearkombination" aus B. Das heißt, es gibt komplexe Zahlen a_k, b_k, so dass

Jedoch sind die meisten Funktionen in V nicht als endliche Linearkombination aus B darstellbar. Damit ist B keine Hamelbasis. Als Vektorraum hat V zwar eine Hamelbasis, diese ist jedoch viel größer als diese abzählbare Orthonormalbasis (sie ist überabzählbar). Hamelbasen in Räumen wie diesen (unendlichdimensionalen Hilberträumen) sind von geringem Interesse; Orthonormalbasen sind dagegen wichtig für das Studium von Hilberträumen.