Die algebraischen Strukturen Gruppoid, Halbgruppe, Monoid, Gruppe, Abelsche Gruppe bilden eine Hierarchie, die sich danach richtet, welche der folgenden Gruppenaxiome erfüllt sind:

In der Menge M kann bezüglich der Verknüpfung ? gelten:

(E): Existenz und Eindeutigkeit: Für alle a, b aus M gilt: a?b ist definiert und ist Element von M.

(A): Assoziativgesetz: Für a, b, c aus M gilt: (a?b)?c = a?(b?c).

(N): Existenz eines neutralen Elements: M enthält ein e, mit dem für alle a aus M gilt: a?e = e?a = a.

(I): Existenz des inversen Elements: Zu jedem a aus M gibt es ein a^-1 aus M, mit dem gilt: a?a^-1 = a^-1?a = e.

(K): Kommutativgesetz: Für a, b aus M gilt: a?b = b?a.