Der Gödel-Isomorphismus bezeichnet einen vom österreichischen Mathematiker Kurt Gödel erfundenen Isomorphismus, der als Hilfsmittel beim Beweis des gödelschen Unvollständigkeitssatzes dient. Mit dem Isomorphismus werden Sätze in formalen Systemen auf natürliche Zahlen abgebildet und die Regeln des formalen Systems auf mathematische Operationen.

Weitere Namen des Gödel-Isomorphismus sind Gödel-Nummerierung, Gödelisierung und Gödel-Operator.

Grundbegriffe

Ein Isomorphismus ist eine Abbildung, die umgekehrt werden kann. Also jedem Element der Ursprungsmenge wird genau ein Element der Zielmenge zugeordnet, so dass auch jedem Element der Zielmenge dann genau ein Element der Ursprungsmenge zugeordnet ist. Dadurch kann man dann einzelne Objekte durch Anwendung des Isomorphismus von einer Darstellung in die andere umwandeln und dies auch wieder umkehren. Ein Beispiel aus dem täglichen Leben wäre ein Restaurant: Bestellt der Gast beispielsweise Schnitzel, schreiben viele Kellner nur Nummern auf, z.B. 123. Der Küchenchef erhält nur diese Nummern, weiss aber dennoch, was er zu kochen hat. Dies funktioniert aber nur deshalb, weil jeder verwendeten Nummer nur ein Gericht, und jedem Gericht nur eine Nummer zugeordnet ist. Die Abbildung Gericht <--> Nummer ist daher ein Isomorphismus.

Ein formales System ist ein System, in dem Sätze nach bestimmten Regeln aus bereits vorhandenen Sätzen generiert werden können. Als Startmenge gelten dabei als wahr angenommene Sätze, so genannte Axiome.