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Gleichschenkliges Dreieck

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Gleichschenkliges Dreieck

Dieser Artikel behandelt den geometrischen Begriff Dreieck. Für weitere Bedeutungen siehe Dreieck (Begriffsklärung).

Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur.

Inhaltsverzeichnis

1 Das beliebige (allgemeine) Dreieck

1.1 Definition und Eigenschaften
1.2 Berechnung eines beliebigen Dreiecks

2 Dreiecksarten

2.1 Übersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken
2.2 Das gleichseitige Dreieck

2.2.1 Eigenschaften
2.2.2 Formeln

2.3 Das gleichschenklige Dreieck

2.3.1 Eigenschaften

2.4 Das rechtwinklige Dreieck

2.4.1 Eigenschaften

3 Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

3.1 Sphärische Dreiecke
3.2 Hyperbolische Dreiecke

4 Oft auftretende Dreiecksgrößen

5 Sätze rund um das Dreieck

6 Weblinks

Das beliebige (allgemeine) Dreieck

Definition und Eigenschaften

Ein Dreieck wird von drei Geraden, die nicht parallel zueinander liegen, eingeschlossen. Es ist durch seine drei Eckpunkte definiert, die gleichzeitig die Schnittpunkte dieser drei Geraden sind, und durch drei die Eckpunkte geradlinig verbindende Seiten 'aufgespannt'. Daneben ist der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z.B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also die Punkte B und C. Die Winkel werden ?, ? und ? genannt; ? ist der Winkel am Eckpunkt A, usw.

Die Summe der Winkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.
Die Summe zweier Seiten eines Dreieck ist immer größer als die dritte Seite.

Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie.

Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Hat man von einem beliebigen Dreieck drei Angaben (Seiten bzw. Winkel), kann man die 3 fehlenden Angaben berechnen. Die 5 Auflösungsfälle werden symbolisch bezeichnet: SSS, SSW, SWS, SWW, WSW.
Der 6.Fall WWW ist bei ebenen Dreiecken nicht lösbar, weil es de facto nur 2 Angaben sind (?+?+? = 180°). Ohne gegebene Seite ist zwar die Form des Dreiecks gegeben, seine Größe bleibt aber offen.

Für Berechnungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz am wichtigsten; zusätzlich kennt man den Projektionssatz sowie Tangenten- und Halbwinkelsätze.
Den Sinussatz gibt es in 3 Varianten, von denen sich aber die dritte aus den beiden anderen ergibt:

$\frac{a}{sin \alpha} = \frac{b}{sin \beta} = \frac{c}{sin \gamma}$

Der Kosinussatz ist eine verallgemeinerte Form des "Pythagoras", mit dem sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks berechnen lassen:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c * cos?

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c * cos?

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b * cos?

Da für einen Winkel ? = 90° (bzw. $\frac{\pi}{2}$ ) der Cosinus ? = 0 ist, gilt für ein rechtwinkliges Dreieck die Formel

c 2 = a 2 + b 2

Umfang:	$u = 8r* \cos \frac{\alpha}{2}* \cos \frac{\beta}{2}* \cos \frac{\gamma}{2}$
Inkreisradius:	$\rho =4r* \sin \frac{\alpha}{2}* \sin \frac{\beta}{2}* \sin \frac{\gamma}{2}$
Umkreisradius:	$r= \frac{a}{2* \sin \ \alpha}= \frac{b}{2* \sin \ \beta}= \frac{c}{2* \sin \ \gamma}$
Höhenformeln:	$h_a = c* \sin \ \beta = b* \sin \ \gamma$
	$h_b = a* \sin \ \gamma = c* \sin \ \alpha$
	$h_c = b* \sin \ \alpha = a* \sin \ \beta$
Flächeninhalt:	$A = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}b h_b = \frac{1}{2}c h_c$

Dreiecksarten

Übersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken

Dreiecksarten	unregelmäßig Kein Winkel und keine Seite sind gleichgroß.	gleichschenklig Zwei Seiten und zwei Winkel sind gleichgroß	gleichseitig Alle Winkel und Seiten sind gleichgroß.
spitzwinklig Alle Winkel sind spitze Winkel, d.h. alle Winkel sind <90°.
rechtwinklig Ein Winkel ist ein rechter Winkel.			nicht in der Ebene möglich, da dort die winkelsumme 180° sein muss. Aber als Dreieck auf einer Kugelfläche möglich.
stumpfwinklig Ein Winkel ist ein stumpfer Winkel (>90°).			in der Ebene unmöglich

Das gleichseitige Dreieck

Eigenschaften

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Aus diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmäßigen Polygonen.
Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

Formeln

Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks wird mit a bezeichnet.

Fläche A	$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$
Höhe h	$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
Umkreisradius r	$r = \frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{1}{\sqrt{3}}a$
Inkreisradius ?	$\rho = \frac{\sqrt{3}}{6}a$
Umfang u	$u = 3 * a$

Das gleichschenklige Dreieck

Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck

Eigenschaften

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang und die jeweils gegenüber liegenden Winkel gleich groß.
Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüber liegen, heißen Basiswinkel.
Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis, die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, die Seitenhalbierende der Basis und die Höhe zur Basis identisch.
Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.

Das rechtwinklige Dreieck

Eigenschaften

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Satz des Pythagoras	$c 2 = a 2 + b 2$
Kathetensatz von Euklid	$a 2 = c * p$
Kathetensatz von Euklid	$b 2 = c * q$
Höhensatz von Euklid	$h 2 = p * q$

Bei Kenntnis drei der Angaben (a, b, c, p, q und h) lassen sich die fehlenden 3 anderen Werte aus den, in der Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Die Längen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Längen der Katheten (a und b).

In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der Gegenkathete als die dem Winkel gegenüberliegende Kathete. Durch das Verhältnis zwischen Katheten und Hypotenuse lässt sich auch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen.

Rechtwinkliges Dreieck mit den rechten Winkel im Punkt C

Funktion	Berechnung
Der Sinus des Winkels ? ist dabei als das Verhältnis zwischen der Gegenkathete (hier: a) und der Hypotenuse (hier: c) definiert.	$\sin \alpha = \frac{a}{c}$
Der Kosinus des Winkels ? ist das Verhältnis zwischen der Ankathete (hier: b) und der Hypotenuse.	$\cos \alpha = \frac{b}{c}$
Der Tangens ist durch das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben.	$\tan \alpha = \frac{a}{b}$
Der Kotangens ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, und ist damit der Kehrwert des Tangens.	$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan \alpha}$
Der Sekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus.	$\sec \alpha = \frac{c}{b} = \frac{1}{\cos \alpha}$
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete, d. h. der Kehrwert des Sinus.	$\csc \alpha = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sin \alpha}$

Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die geläufigsten, die anderen sind seltener von Bedeutung).

Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

Sphärische Dreiecke

Dreiecke auf der Kugel nennt man sphärisch), wobei die 3 Seiten Teile von Großkreisen sind. Ihre Seitenlänge wird nicht in der Dimension einer Länge angegeben (Meter, cm usw.), sondern als zugehöriger Winkel im Kugelmittelpunkt.

Ein sphärisches Dreieck hat eine Winkelsumme größer als 180°, wobei der "Überschuss" sphärischer Exzess heißt und in Formeln meist als ? bezeichnet wird: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ + \epsilon$ .

Der Exzess hängt direkt mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zusammen (? = F / R² , bzw. in Grad ? = 180°.F / R²?), worin R den Kugelradius und ? die Kreiszahl 3,14159... bedeutet.
Der maximale Exzess von 360° tritt beim größtmöglichen "Dreieck" auf, das die halbe Kugeloberfläche umspannt: mit 3 gestreckten Winkeln hat es eine Winkelsumme von 3mal 180° und ? = 540° - 180°.

Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es z.B. den spärischen Sinussatz, den Cosinussatz, den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsätze gibt - siehe Sphärische Trigonometrie.

Bild nicht gefunden
Sphärisches Zweieck

Sphärisches Zweieck: für manche Berechnungen auf der Sphäre - z.B. auf der Himmelskugel - sind auch Zweiecke nützlich. Die Formeln ergeben sich als Sonderfall des Dreiecks.

Hyperbolische Dreiecke

Zur nichteuklidischen Geometrie - in der das Parallelen-Axiom nicht gilt - zählen z.B. auch Dreiecke auf einer Sattelfläche. Während eine Kugel überall konvex gekrümmt ist, haben Sattel- und andere hyperbolische Flächen sowohl konvexe als auch konkave Krümmung (ihr Produkt, das Krümmungsmaß, ist negativ).

Entsprechend ist auch der Exzess negativ - d.h. die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Sattelfläche ist kleiner als 180°.

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Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.
In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke die wesentliche Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreiecksgeometrie.

Oft auftretende Dreiecksgrößen

die Fläche
die Höhen
die Seitensymmetralen
die Winkelsymmetralen
die Seitenhalbierenden
der Inkreis
der Umkreis

Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete Punkte des Dreiecks bekannt sind.

Sätze rund um das Dreieck

Kongruenzsätze
Thaleskreis
Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Südpolsatz
Sinussatz
Satz von Pythagoras, Kosinussatz
Satz von Menelaos
Satz von Ceva
Satz von Stewart
Satz des Heron (Fläche aus drei Seiten berechnen)
Eulersche Gerade
Feuerbachkreis
Simsonsche Gerade
Symmedianen und Lemoinepunkt
Trigonometrie

Weblinks

Bilder verschiedener Dreiecksarten (http://www.zum.de/dwu/mdl001vs.htm)
Berechnungen rund um das Dreieck - Seite, Winkel, Höhe, Fläche, Umfang (http://www.sengpielaudio.com/Rechner-dreieck.htm)
Lösungsprogramm in JavaScript und Lösungsalgorithmus für Dreiecke auf www.ArsTechnica.de (http://www.arstechnica.de/computer/JavaScript/dreieck.html)

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