Der Gini-Koeffizent ist ein statistisches Maß für Ungleichheit, entwickelt vom italienischen Statistiker Corrado Gini.

Je höher der Wert, der zwischen 0 und 1 liegen kann, ist, desto größer ist die Ungleichheit (z.B einer Einkommensverteilung). Der Gini-Index liegt in Deutschland bei 0,300, in Frankreich bei 0,327, in Großbritannien bei 0,361, in Japan bei 0,249 und in den USA bei 0,408.

Beispiel zur Berechnung

Ungleichverteilungskoeffizienten lassen sich nicht nur für Einkommensverteilungen, sondern auch für Vermögensverteilungen berechnen. Wie man die Ungleichverteilung berechnet, zeigt der folgende Beitrag anhand der Verteilung eines "Gesamtvermögens" von etwa 10 Billionen Deutschen Mark in Deutschland (1995). In der Bundestagsdrucksache 13/7828 finden wir dazu Angaben von der SPD, aus der sich die folgende Verteilung ergibt:

50% der Bevölkerung (b1) besaß  2,5% des Vermögens (v1).
40% der Bevölkerung (b2) besaß 47,5% des Vermögens (v2).
 9% der Bevölkerung (b3) besaß 27,0% des Vermögens (v3).
 1% der Bevölkerung (b4) besaß 23,0% des Vermögens (v4).

In einem ersten Schritt werden die Daten "normalisiert" dargestellt:

b1 = 0,50     v1 = 0,025          v1/b1 =  0,05
b2 = 0,40     v2 = 0,475          v2/b2 =  1,188
b3 = 0,09     v3 = 0,270          v3/b3 =  3
b4 = 0,01     v4 = 0,230          v4/b4 = 23

Im zweiten Schritt wird der Gini-Koeffizienten berechnet.

Den Gini-Ungleichverteilungskoeffizient (GUK) enthält man durch Auswertung einer Lorenz-Kurve.

Damit tatsächlich eine Lorenz-Kurve entsteht, müssen gegebenenfalls die obigen Werte umsortiert werden. Alle Werte-Paare (v_i , b_i) müssen zunächst so vorsortiert werden, dass gilt:

Bei dem obigen Beispiel liegt schon die richtige Sortierung vor, so dass nicht umsortiert werden muß.

Die gesuchte Lorenz-Kurve entsteht, wenn man (x_i,y_i)-Paare als Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem einträgt und anschließend benachbarte Punkte mit einer Geraden verbindet. Die (x_i,y_i)-Paare entstehen aus den (v_i,b_i)-Paaren nach folgender Rechenvorschrift:

Im zweiten Schritt werden aus den Daten des ersten Schritts die nachfolgenden Daten durch Summation ermittelt (wobei am Anfang 1 fester Wert dazu kommt):

x0 = 0,00     y0 = 0
x1 = 0,50     y1 = 0,025
x2 = 0,90     y2 = 0,5    da 0,5+0,4=0,9 und 0,025+0,475=0,500 ist
x3 = 0,99     y3 = 0,77   usw. 
x4 = 1,00     y4 = 1      usw.

Bei totaler Gleichverteilung ist die Lorenz-Kurve eine gerade Linie von Punkt 0/0 zu Punkt 1/1.

Zur Bestimmung des Gini-Koeffizienten werden zuerst zwei Größen bestimmt, die graphisch betrachtet Flächen sind. Einmal die Fläche unter der Gleichverteilungslinie, nennen wir diese Größe beispielsweise A. Die zweite Fläche ist die Fläche unter der tatsächlichen Verteilungskurve, nennen wir diese Größe beispielsweise B. Mit diesen beiden Größen berechnet sich der Gini-Ungleichverteilungskoeffizient wie folgt:

B ist die dunkelgraue Fläche; A setzt sich aus der hell- und der dunkelgrauen Fläche zusammen.

Errechnen der y-Werte der Lorenz-Kurve der tatsächlichen Verteilung:

y0 = 0,000
y1 = v1 = 0,025
y2 = v1 + v2 = 0,500
y3 = v1 + v2 + v3 = 0,770
y4 = v1 + v2 + v3 + v4 = 1,000

Berechnung der Fläche B unter der Lorenz-Kurve der tatsächlichen Verteilung (berechnet als Rechteck minus des Dreiecks, das zuviel ist):

(y1 - 0,5 · v1) · b1 = 0,00625
(y2 - 0,5 · v2) · b2 = 0,105
(y3 - 0,5 · v3) · b3 = 0,05715
(y4 - 0,5 · v4) · b4 = 0,00885

B = 0,17725

Da eine normierte Darstellung verwendet wird, verbindet die Kurve der totalen Gleichverteilung die Eckpunkte (0|0) und (1|1). Das Dreieck Fläche A beträgt also 0,5. Darum gilt für den Gini-Ungleichverteilungskoeffizienten:

Graphisch betrachtet ist der Gini-Koeffizient das Verhältnis der Fläche zwischen der Linie der perfekten Gleichheit und der Lorenzkurve zur gesamten Fläche unter der Linie der perfekten Gleichheit.

Weblinks

• http://www.umverteilung.de/verteilung.htm Beschreibung anderer Ungleichverteilungskoeffizienten