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Fourier-Transformation

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Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion in Sinus- und Kosinus-Bestandteile (Basisfunktionen) zerlegt, das heißt in eine Summe von Sinus- oder Kosinusfunktionen verschiedener Frequenz, Phase und Amplitude.

Der Begriff Fourier-Transformation umfasst allgemein eine Reihe sehr ähnlicher Transformationen, auf die weiter unten eingegangen wird. Sehr oft wird er aber auch speziell für die kontinuierliche Fourier-Transformation verwendet.

Die Fourier-Transformation ist von außerordentlicher praktischer Bedeutung in vielen Wissenschaften, Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik) über viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), die Signalverarbeitung und Kryptographie bis zu Ozeanographie und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise eine Frequenz-Transformation eines Tons in Oberschwingungen.

Die Fourier-Transformation wurde von dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur entwickelt.

Inhaltsverzeichnis

1 Kurz und bündig

2 Varianten der Fourier-Transformation

3 Mathematische Herleitung

3.1 Mathematische Grundlagen
3.2 Fourier-Reihe
3.3 Konvergenz der Fourier-Reihe
3.4 Aperiodische Vorgänge

4 Differentialgleichungen

5 Verallgemeinerung

5.1 Allgemeine Betrachtung
5.2 Fouriertransformation als Beispiel

Kurz und bündig

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch

$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} \,d t.$

In der Literatur findet man auch andere Definitionen, die als Vorfaktor statt $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ nur $\frac{1}{2 \pi}$ oder 1 haben. Dies hängt von den jeweils verwandten Normierungskonventionen ab. Die hier verwendete Variante hat nicht nur den ästetischen Vorteil, dass der Vorfaktor bei Hin- und Rücktransformation gleich ist, sondern ist essentiell für die Bedingung: $\int_{-\infty}^\infty \left|f(t)\right|^2 \,d t = \int_{-\infty}^\infty \left|F(\omega)\right|^2 \,d \omega$ . Diese Bedingung ist z.B. in der Physik wichtig für die Energieerhaltung durch die Fourier-Transformation.

Die Rücktransformation (Fouriersynthese) lautet analog dazu:

$\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i \omega t} \,d \omega.$

Varianten der Fourier-Transformation

Die verschieden Begriffe in diesem Zusammenhang werden leider in der Literatur nicht einheitlich gebraucht und es existieren mehrere Namen für den gleichen Vorgang. So nutzt man Fourier-Transformation sehr oft als Synonym der kontinuierlichen Fourier-Transformation, und Fourier-Analyse meint oft die Zerlegung in eine Fourier-Reihe, manchmal aber auch die kontinuierliche Transformation.

Je nach den Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion gibt es im wesentlichen drei Varianten (aufgrund der oben genannten Unschärfe der Begriffe erhebt die Liste keinen Anspruch auf vollständige Richtigkeit):

Eine in einem endlichen Intervall periodische Funktion kann in eine Fourier-Reihe zerlegt werden.
Ein Vorgang, der unperiodisch bis ins Unendliche reicht, erfordert die kontinuierliche Fourier-Transformation (auch Fourier-Integral).
Sind von einem (unperiodischen) Vorgang nur diskrete Werte für ein endliches Intervall bekannt, wird die diskrete Fourier-Transformation angewendet. Ein Beispiel ist ein digitalisiertes Musikstück auf einer CD, auf der pro Sekunde 44100 diskrete Messwerte gespeichert sind.

Man erhält bei allen Transformationen ein Frequenzspektrum, das je nach Variante diskret (unendlich scharfe Linien) oder kontinuierlich ist:

Variante	Definitionsmenge von f	Periodizität von f	Frequenzspektrum
Fourier-Reihe	kontinuierliches Intervall	periodisch	diskret
Kontinuierliche Fourier-Transformation	kontinuierlich	aperiodisch	kontinuierlich
Diskrete Fourier-Transformation	diskret, endlich	periodisch	diskret, endlich

Zur Berechnung der diskreten Fouriertransformation wird oft die Fast-Fourier-Transformation (FFT) verwendet, ein Algorithmus bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration.

Wegen der Bedeutung der Fouriertransformation in der Signalverarbeitung sind Signalprozessoren besonders gut angepasst an die Berechnung der Fouriertransformation.

Mathematische Herleitung

(Dieser Abschnitt setzt, über die Schulmathematik hinaus, nur Kenntnisse im Rechnen mit komplexen Zahlen sowie die Euler-Formel voraus.)

Mathematische Grundlagen

Gegeben sei zunächst eine beliebige von der Zeit $t$ abhängige Funktion bzw. ein beliebiger Vorgang $f (t)$ , der sich nach einer Zeit $T$ wiederholt, also periodisch ist. Fourier konnte in seiner Arbeit zeigen, dass sich $f$ aus harmonischen Schwingungen, also Sinus- oder Kosinusfunktionen verschiedener Phase und Amplitude und genau definierter Frequenz (siehe unten) zusammensetzen lässt, also

$f(t) = a_0 + a_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + a_2 \cos(2 \omega t + \varphi_2) + ... = \sum_{n=0}^\infty a_n \cos (n \omega t + \varphi_n).$

$f$ wird in eine Reihe zerlegt; $a n$ und $\varphi_n$ sind dabei Folgen, und für die Kreisfrequenz gilt $\omega = \frac{2\pi}{T}$ .

Die Schwingungen haben die Kreisfrequenz $n ?$ , also die Frequenz $n ? / 2?$ . Damit hat die erste Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz 1/ $T$ , die nächsten 2/ $T$ , 3/ $T$ , ...

Weil ein Sinus nur ein phasenverschobener Kosinus ist, treten in der Reihendarstellung nur Kosinus-Funktionen auf, die Phase ist ja noch offen. Als nächster Schritt soll die Reihe aber komplex geschrieben werden. Es sind dann komplexe Argumente erlaubt, und die Reihe wird komplexwertig. Sofern reelle Funktionen betrachtet werden, kann ja wieder der Realteil des Ergebnisses genommen werden. Aus der Euler-Formel folgt

$\cos (x) = \frac{1}{2} \left( e^{ix} + e^{-ix} \right)$ und damit

$f(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cos (n \omega t + \varphi_n)$ $= \sum_{n=0}^\infty a_n {1 \over 2} \left( e^{i(n \omega t + \varphi_n)} + e^{-i(n \omega t + \varphi_n)} \right)$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty {1 \over 2} a_ne^{i(n \omega t + \varphi_n)}$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty {1 \over 2} a_n e^{i n \omega t} e^{i \varphi_n}$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty a_n^* e^{in \omega t}.$

Im letzten Schritt wurde die Phasenverschiebung in die nun komplexe Amplitude a_n^* hineingezogen.

Fourier-Reihe

Bisher ist nur eine Reihe definiert - die Amplituden a_n^* sind noch unbestimmt, und auch das Gleichheitszeichen zu f(t) ist noch nicht begründet.

Zur Bestimmung der Amplitudenfolge wird die obige Gleichung mit $e - i m ? t$ multipliziert und sodann auf beiden Seiten über dem Intervall [0,T], der Periode, integriert. Mit Umformungen erreicht man folgenden Aussage:

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n^* e^{i(n \omega t)} \Leftrightarrow$ $e^{-i m \omega t} f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n^* \left( e^{i(n \omega t)} e^{-i m \omega t} \right)$ $\Leftrightarrow \int_0^T e^{-i m \omega t} f(t) dt= \int_0^T \sum_{n=-\infty}^\infty a_n^* e^{i n \omega t - i m\omega t} dt$ $\Leftrightarrow \int_0^T e^{-i m \omega t} f(t) dt= \sum_{n=-\infty}^\infty a_n^* \int_0^T e^{i \omega t (n-m)} dt ,$

und für das n-te Integral auf der rechten Seite gilt: $\int_0^T e^{i \omega t (n-m)} dt$ $= \left[ { 1 \over i \omega (n-m) } e^{i \omega t (n-m)} \right]_0^T$ $= { 1 \over i \omega (n-m) } (e^{i \omega T (n-m)} - e^0)$ $= { e^{i \omega T (n-m)} - 1 \over i \omega (n-m) }$ $= { e^{2 \pi i (n-m)} - 1 \over i \omega (n-m) }.$ Im letzten Schritt wurde die weiter oben eingeführte Beziehung $\omega = { 2\pi \over T }$ genutzt.

Es sei k=n-m. Für den letzten Term gilt

$\forall k \ne 0: { e^{2 \pi i k} - 1 \over i \omega k }$ $= { \left(e^{i \pi k}\right)^2 - 1 \over i \omega k }$ $=_{\mathrm{(Euler)}} { (\cos(k \pi) + i \sin (k \pi))^2 - 1 \over i \omega d }$ $=_{(\mathrm{weil} \sin(k \pi)=0 \mathrm{und} \cos(k \pi) = \pm 1)} { (\pm 1)^2 - 1 \over i \omega d } = 0,$

es bleibt von der Reihe nur der Summand für n=m, für den nach der Regel von L'Hôpital gilt:

$\lim_{n \to m}{ e^{2 \pi i (n-m)} - 1 \over i \omega (n-m) }$ $=_{\mathrm{(l'H\hat{o}pital})} \lim_{n \to m}{ {d \over dn}(e^{2 \pi i (n-m)} - 1) \over {d \over dn}i \omega (n-m) }$ $= \lim_{n \to m}{2 \pi i e^{2 \pi i (n-m)} \over i \omega}$ $= {2 \pi i \over i \omega} = {2 \pi \over \omega} = T.$

Glücklicherweise vereinfacht sich die Gleichung also entscheidend, und man erhält für die gesuchte Amplitudenfunktion

$\int_0^T f(t) e^{-i m \omega t} dt= \sum_{n=-\infty}^\infty a_n^* \int_0^T e^{i \omega t (n-m)} dt$ $\Leftrightarrow \int_0^T f(t) e^{-i m \omega t} dt= a_m^* T \Leftrightarrow$

$a_m^* = { 1 \over T } \int_0^T f(t) e^{-i m \omega t} dt,$

womit die Fourier-Reihe eindeutig bestimmt ist.

Konvergenz der Fourier-Reihe

Eine so definierte Reihe ist sicher schön, aber nutzlos, wenn sie nicht gegen die ursprüngliche Funktion konvergiert. Tatsächlich konvergiert sie für sehr viele Funktionen, unter anderem konvergieren alle differenzierbaren Funktionen oder alle quadratintegrierbaren Funktionen. Damit sei im Rahmen dieses Artikels das Gleichheitszeichen ganz am Anfang gerechtfertigt.

Wir können also zusammenfassen:

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty { e^{in \omega t} \over T } \int_0^T f(t) e^{-i n \omega t} dt.$

Aperiodische Vorgänge

Voraussetzung für die hergeleitete Fourier-Reihe ist die Periodizität von $f (t)$ über dem Zeitintervall $T$ . Selbstverständlich gibt es auch Funktionen, die bis ins Unendliche nicht periodisch sind, d.h., für die $T$ gegen Unendlich geht. Wie schon gezeigt haben die Oberschwingungen die Frequenz $n / T$ für die $n$ -te Oberschwingung. Die Differenz den $n$ -ten Oberfrequenz von der vorherigen ist $n / T - (n - 1) / T = 1 / T$ , d.h. die Oberfrequenzen haben den Abstand 1/ $T$ . Für $T$ gegen Unendlich rücken sie infinitesimal eng zusammen - und eine Summe über solche kleinen Stück ist genau die Definition des Riemann-Integrals. Die Summe wird im Grenzfall zum Integral.

Das Fourier-Integral, die kontinuierliche Fourier-Transformation, ist also gegeben durch

$f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty a(\omega) e^{i \omega t} \,d \omega$

mit

$a(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} \,dt.$

Aus der Folge $a n$ ist nun das kontinuierliche Spektrum $a (?)$ geworden. Man bezeichnet genau genommen die zweite Transformation als Fourier-Transformation, die erste, deren inverse, ist die Fourier-Synthese.

Die zweite Gleichung kann analog wie für die Reihe hergeleitet werden.

Differentialgleichungen

Die Fouriertransformation wird oft eingesetzt, um mit Differentialgleichungen einfacher zu rechnen. Denn die $e i n x$ bzw. die $sin n x,cos n x$ sind Eigenfunktionen der Differentiation, und die Transformation wandelt lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in normale algebraische Gleichungen um. (So ist zum Beispiel in einem linearen zeitinvarianten physikalischen System die Frequenz eine Erhaltungsgröße, und das Verhalten kann für jede Frequenz einzeln gelöst werden.)

Verallgemeinerung

(Der folgende Abschnitt setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.)

Allgemeine Betrachtung

Als verallgemeinerte Fouriertransformation wird jede Zerlegung einer Funktion in ein System von Basisfunktionen bezeichnet. Solche Zerlegungen finden u.a. im Apparat der Quantenmechanik eine wichtige Anwendung. Durch die folgende abstrakte Betrachtung gewinnt man wichtige Einsichten in die eigentliche Bedeutung der Fouriertransformation, die elementare Herleitung der vorangegangenen Abschnitts erscheint in einem neuen Licht.

Man betrachte die zu transformierenden Funktionen (wie oben zunächst Funktionen mit der Periodizität T) als Elemente eines Vektorraums. Dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind, erkennt man schon durch hinschreiben; nun steht die ganze Macht der Theorie der linearen Algebra zur Verfügung (wobei der betrachtete Raum von unendlicher Dimension ist).

Als geeignetes Inneres Produkt zweier Funktionen definiert man wie üblich das Integral des Produktes der beiden über einem von der Anwendung abhängigen Intervall. Es bietet sich an, über die Periode von 0 bis T zu integrieren:

$f \cdot g = \int_0^T \overline{f(t)}g(t)dt.$

Dabei ist $\overline{f(t)}$ das komplex konjugierte von f(t).

So wie (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) eine Basis des dreidimensionalen reellen Anschauungsraumes $\mathbb{R}^3$ ist, besitzt auch der Funktionenraum wie jeder Vektorraum eine Basis. Während im endlich-dimensionalen die Basen genau die minimalen Erzeugendensysteme sind, muss bei den unendlich-dimensionalen Funktionenräumen durch ein Funktionensystem das Kriterium der Vollständigkeit (im Sinne der Funktionalanalysis) erfüllt sein.

Gegeben sei das vollständige Basissystem B. Man kann jede Funktion aus dem Funktionenraum als Linearkombination der Basisfunktionen $b n$ darstellen:

$(1) \ f = \sum \lambda_n b_n.$

Praktisch möglich ist die Bestimmung der Koeffizienten aber nur, wenn das Basissystem ein Orthogonalsystem ist, besonders einfach, wenn es ein Orthonormalsystem ist, d.h. für alle $b_n, b_m \in B$ gilt

$(2) \ b_n \cdot b_m = \begin{cases} 1 & \mbox{falls } m=n \\ 0 & \mbox{falls } m \neq n \end{cases} = \delta_{mn}.$

Denn wie man die Komponente eines Vektors in x-Richtung im $\mathbb{R}^3$ durch

$r_x = b_x \cdot \vec r = \left( 1,0,0 \right) \cdot \vec r$

erhält - denn auch das obige Beispiel ist eine Orthonormalbasis - so erhält allgemein man den Faktor $? n$ , die "Komponente in Richtung" von $b n$ , durch

$(3) \ \lambda_n = b_n \cdot f$ ,

wenn die $b n$ ein vollständiges Orthonormalsystem, eine Orthonormalbasis, bilden. Der Beweis ist einfach: Denn unter Ausnutzung der Linearitätseigenschaften des Inneren Produkts erhält man

$b_n \cdot f=_{(1)} b_n \cdot \left( \sum_\nu \lambda_\nu b_\nu \right)$ $= \sum_\nu \lambda_\nu ( b_n \cdot b_\nu)$

= ₍₂₎	?	?_??_n? = ?_n.
	?

Es sei angemerkt, dass der Vergleich mit dem $R 3$ hier eher pädagogischer Natur ist, denn die Beispielbasis ist genau genommen eine Hamelbasis, während die Orthonormalbasis des untersuchten Funktionenraumes keine solche ist - der Raum besitzt auch eine Hamelbasis, die allerdings überabzählbarer Dimension und von keinem praktischen Interesse ist. Die Orthonormalbasis hat abzählbare Dimension und sie ist vollständig, d.h. ihre lineare Hülle liegt dicht im Vektorraum, ist aber nicht notwendigerweise gleich dem Raum. Deshalb lässt sich nicht unbedingt jedes Element des Raums durch eine endliche, wohl aber eine unendliche Summe darstellen.

Zusammenfassend gilt nach (1) und (3) für eine beliebige Funktion f aus dem Funktionenraum und für jedes vollständige Orthonormalsystem B

$(4) \ f= \sum_n (b_n \cdot f) b_n.$

Fouriertransformation als Beispiel

Den Weg zurück zur Fouriertransformation findet man, indem man zunächst die Funktionen $b' n = e i n ? t$ untersucht, nach denen ja entwickelt wird. Sie sind ein Orthogonalsystem, denn mit $\omega = \frac{2\pi}{T}$ folgt

$b'_n \cdot b'_m$ $= \int_0^T \overline{e^{i n \omega t}} e^{i m \omega t} dt$ $= \int_0^T e^{-i n \omega t} e^{i m \omega t} dt$ $= \int_0^T e^{i \omega t(m-n)} dt = \begin{cases} T & \mbox{falls } m=n \\ 0 & \mbox{falls } m \neq n \end{cases} = T \delta_{mn}.$

(Das Integral wurde schon in der elementaren Herleitung gelöst.)

Für die Norm findet man

$\| b'_n \| = \sqrt{ b'_n \cdot b'_n } = \sqrt T.$

Offenbar sind die $b' n$ orthogonal, orthonormal sind aber erst die $b_n={1 \over \sqrt{T}}e^{i n \omega t}$ . Nach der allgemeinen Herleitung (4) gilt also für eine Funktion f(t)

$f(t)= \sum_{n \in \mathbb{Z}} (b_n \cdot f(t)) b_n$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty \left({1 \over \sqrt{T}}e^{i n \omega t} \cdot f(t) \right) {1 \over \sqrt{T}}e^{i n \omega t}$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty {1 \over T} \left(e^{i n \omega t} \cdot f(t)\right) e^{i n \omega t}$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty {1 \over T} \left(\int_0^T \overline{e^{i n \omega t}} f(t) dt \right) e^{i n \omega t}$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty { e^{i n \omega t} \over T} \int_0^T e^{-i n \omega t} f(t) dt,$

was genau dem Resultat der elementaren Herleitung entspricht. Wie dort der Konvergenzbeweis, fehlt auch hier nur noch der Beweis, dass das Basissystem für weite Funktionenklassen vollständig ist.

siehe auch: Laplace-Transformation, Faltung

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