Das Finite-Volumen-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen.

Erhaltungsgleichungen sind spezielle partielle Differentialgleichungen, denen ein Erhaltungssatz zugrunde liegt, beispielsweise der Satz von der Energieerhaltung. Am prominentesten ist der Einsatz der Finite-Volumen-Methode in der numerischen Strömungsdynamik, wo es zur Lösung der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen der Gasdynamik benutzt wird.

Das Prinzip ist folgendes:

Zunächst wird das Gebiet, auf dem die Gleichung untersucht werden soll, in eine endliche (finite) Zahl an Gitterzellen (die Volumen) zerlegt. In jeder dieser Zellen gilt der Erhaltungssatz. Die Veränderung einer erhaltenen Größe (z.B. der Energie) in einer Zelle kann also nur durch Ab- oder Hinzufließen (in diesem Fall von Energie) über den Rand der Zelle passieren.

Berechnet man diese Flüsse - oder zumindest eine gute Approximation - lässt sich so ein Gleichungssystem aufstellen, das die Veränderung mit der Zeit in den Zellen beschreibt. Mathematischer formuliert: man erhält ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Jenes wird mittels numerischer Methoden für gewöhnliche Differentialgleichungen näherungsweise gelöst.

Finite Volumen Verfahren lassen sich als spezielle Finite-Elemente-Verfahren auffassen, bei denen man stückweise konstante bzw. stückweise lineare Ansatzfunktionen wählt, die auf den Zellen und nicht auf den Gitterpunkten leben. Ein besonderer Vorteil sind die Flexibilität bei der Wahl der Gittergeometrie sowie das natürliche Zulassen von unstetigen Lösungen, wie sie in der Gasdynamik häufig auftreten.

Entwickelt wurden die Methode im Laufe der 1950er Jahre für die Raumfahrt, insbesondere von dem russischen Mathematiker Godunov (*17. Juli 1929).

Literatur

• Randall J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, 2002, Cambridge Texts in Applied Mathematics, ISBN 0-521-00924-3