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Fehlerrechnung

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Fehlerrechnung

Den Fehler bzw. die Messunsicherheit einer fehlerbehafteten (z.B. physikalischen) Größe ermittelt man, indem man abschätzt welchen Einfluss verschiedene Unsicherheitsfaktoren auf das Endergebnis haben.

Der absolute Fehler eines Werts wird durch ein vor den Bezeichner des Fehlers gestelltes ? markiert. Wenn für die Größe $y$ der Mittelwert $\tilde y$ ermittelt wurde, kann $y$ also angegeben werden als:

$y = \tilde y \; \pm \; \Delta y \qquad \mbox{z. B.:} \ y = (17,3 \; \pm \; 0,4) m$

Der relative Fehler berechnet sich nun als

${ \Delta y } \over y$

und wird oft in Prozent oder Promille angegeben.

Meist sind die Unsicherheitsfaktoren Messwerte, die ihrerseits mit einem Messfehler behaftet sind.

Der Einfluss einer fehlerbehafteten Größe $x$ auf das Endergebnis kann abgeschätzt werden, indem man das Endergebnis als Funktion von der fehlerbehafteten Größe betrachtet, nach dieser ableitet und mit dem absoluten Fehler der fehlerbehafteten Größe multipliziert:

$y = y(x) \Rightarrow \Delta y = \left | {d y \over d x} \cdot \Delta x \right |$

Fließt $x$ oder sein Kehrwert $1 \over x$ linear in das Endergebnis ein, so ist der dadurch verursachte relative Fehler von $y$ somit gleich dem relativen Fehler von $x$ :

$y = c \cdot x \or y = {c \over x} \Rightarrow {\Delta y \over y} = {\Delta x \over x}$

Fließt $x$ oder sein Kehrwert $1 \over x$ in $n$ -ter Potenz (also z.B. quadratisch für $n = 2$ ) in das Endergebnis ein, so ist der dadurch verursachte relative Fehler von $y$ gleich dem relativen Fehler von $x$ multipliziert mit $n$ :

$y = c \cdot x^{\pm n} \Rightarrow {\Delta y \over y} = n \cdot {\Delta x \over x}$

Fließen mehrere fehlerbehaftete Größen $x i$ bei der Ermittlung von $y$ ein, so werden deren Einflüsse auf $y$ addiert, solange die Fehler der $x i$ unabhängig voneinander sind, sich also nicht gegenseitig beeinflussen:

$y = y(x_1, x_2, ..., x_n) \Rightarrow \Delta y = \sum_{i=1}^n \left | {\partial y \over \partial x_i} \cdot \Delta x_i \right |$

Grenzen des linearen Gauß-Fortpflanzungsverfahrens

Das Gauß-Verfahren ist nur anwendbar, wenn sich die Modellfunktion y = f( $x i$ ) bei Änderungen der Einflussgrößen $x i$ im Bereich ihrer Standardunsicherheiten u( $x i$ ) hinreichend linear verhält. Ist dies nicht der Fall, ist das Rechenverfahren erheblich aufwändiger.

DIN 1319 (Grundlagen der Meßtechnik) und der "Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen" geben Hinweise, wie eine unzulässige Nichtlinearität zu erkennen und zu umgehen ist.

Siehe auch:

Fehler, Messunsicherheit

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