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Fakultät (Mathematik)

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Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät ist eine mathematische Funktion, die das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis zum Argument ergibt. Sie wird durch ein "!"-Zeichen hinter dem Argument abgekürzt.

Inhaltsverzeichnis

1 Berechnung für natürliche Zahlen

2 Beispielberechnungen

3 Formale Definition

4 Bemerkung

5 Verallgemeinerung für komplexe Zahlen z mit Re(z)>0

6 Anwendung

1 Weblinks

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Berechnung für natürliche Zahlen

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$

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Beispielberechnungen

$2! = 1 \cdot 2 = 2$

$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

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Formale Definition

Für alle $n \in \mathbb{N}_0$ gilt

$n!=\prod_{k=1}^n k$ .

Oder rekursiv

$n!= \begin{cases} 1 & n = 0\\ n \cdot (n-1)! & n > 0 \end{cases}$

Für negative Zahlen ist die Fakultät nicht definiert.

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Bemerkung

Fakultäten wachsen sehr schnell mit n: 69! ist bereits eine Zahl mit 99 Stellen.

Fakultäten für größere n kann man mit der Stirling-Formel näherungsweise berechnen.

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Verallgemeinerung für komplexe Zahlen z mit Re(z)>0

Die Verallgemeinerung liefert die Gammafunktion

$\Gamma(z)={(z-1)}!=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt.$

Aus der Funktionalgleichung ?(z+1) = z?(z) folgt für natürliche z: ?(z+1) = z!

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Anwendung

Binomischer Lehrsatz
Binomialkoeffizient
Kombinatorik
Taylorreihe

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Weblinks

http://factorielle.free.fr
- Seite über Fakultäten mit Programmen
http://www.madeasy.de/2/prgfaku.htm
- Kleines VB Programm mit Quelltext und Abbildung zur Fakultätsberechnung
http://www.jonelo.de/java/bigal_de.html
- Freies und plattformunabhängiges Programm, u. a. zur unbegrenzten Berechnung von Fakultäten (mit Java-Quelltext

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