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Faktorgruppe

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Faktorgruppe

Definition

Sei $(G, \circ)$ eine Gruppe, und $N$ ein Normalteiler von $G$ .

Für die Menge der Nebenklassen $G/N := \{ g \circ N : g \in G \}$ von $G$ gilt dann:

Mit der Operation

$\circ : \left\{ \begin{matrix} G/N \times G/N & \rightarrow & G/N \\ (X, Y) & \mapsto & X \circ Y := \{ x \circ y : x \in X, y \in Y \} \end{matrix}\right.$

ist $(G/N, \circ)$ eine Gruppe, die Faktorgruppe von G nach N.

Für $x\circ N, y\circ N \in G/N$ gilt $x \circ N \circ y \circ N = x \circ y \circ N$

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler, somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden.

Faktorgruppe

Definition

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