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Eulersche Zahl

Sie befinden Sie in: Formelsammlung Lexikon > e > Eulersche Zahl

Eulersche Zahl

Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl e=2,718281828459... ist eine irrationale Zahl. Wie die Kreiszahl ? lässt sie sich nicht exakt berechnen.

Die Eulersche Zahl ist die Basis des so genannten natürlichen Logarithmus. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine große Rolle.

Inhaltsverzeichnis

1 e-Funktion

2 Definition von e

3 Herkunft von e

4 Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl

5 Die ersten 200 Nachkommastellen von e

6 Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl

7 Siehe auch

8 Weblinks

e-Funktion

Die e-Funktion (Exponentialfunktion) f(x)=e^x = e^x (gesprochen e hoch x) hat die Eulersche Zahl als Basis.

Als Besonderheit bleibt die e-Funktion beim Differenzieren unverändert. Dies hat zur Folge, dass die Ableitungsfunktion der e-Funktion wiederum die e-Funktion ist. Es gilt:

$\frac{de^x }{dx} = e^x$ Die Ableitung von f(x)=e^x ist gleich f(x)).

Diese Eigenschaft ist auch für bestimmte Differenzialgleichungen von Bedeutung. So besitzt beispielsweise die Differenzialgleichung f'(x) = f(x) als einzige Lösung die Funktion f(x)=c*e^x, wobei c eine unbestimmte Konstante ist.

Definition von e

Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die zwei bekanntesten Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots$

wobei man letztere Formel durch die Fakultätsschreibweise mit dem "!"-Zeichen im allgemeinen abkürzt zu

$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$

Sie stammt aus der Taylorentwicklung der e-Funktion um Null.

Da e eine transzendente Zahl ist, ist der entstehende Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch.

Es gilt:

$e^{i\cdot\pi} = -1$ Dies ist die Eulersche Identität. (Wobei i die imaginäre Einheit und

?

die Kreiszahl Pi ist.)

Herkunft von e

Der Buchstabe e für diese Zahl wurde zuerst von Euler benutzt, es ist jedoch anzunehmen, dass dies eher aus praktischen Gründen geschah, als in Anlehnung an seinen Namen. Die Buchstaben a, b, c und d waren und sind in der Mathematik häufig benutzt, weshalb e eine gute Wahl für die Eulersche Zahl ist.

Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

Eine eher unübliche aber bemerkenswerte Darstellung der Eulerschen Zahl ist zum Beispiel die Catalansche Darstellung

$e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots$

Für jede komplexe Zahl z gilt:

$e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$

Siehe auch den Artikel Exponentialfunktion.

Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins unendliche fortsetzt: $e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]$

Die ersten 200 Nachkommastellen von e

Gerundet auf 200 Nachkommastellen (abgerundet) beträgt der Wert der Eulerschen Zahl:

$e - 10 - 200$ < 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 382 178 525 166 427 427 466 391 932 003 059 921 817 413 596 629 043 572 900 334 295 260 595 630 738 132 328 627 943 490 763 233 829 880 753 195 251 019 01 < $e$

Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen K_n = K₀ * (1+p)ⁿ, wobei K₀ das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K₀ = 1 EUR, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 100% / n = 1/n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre K₁ = 1*(1+1)¹ EUR = 2,00 EUR. Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1/2, also K₂ = 1*(1+0,5)² EUR = 2,25 EUR, also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (p=1/365) erhalten wir K₃₆₅= 1*(1+1/365)³⁶⁵ = 2,714567... EUR. Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene 1. Formel für e.

Unerwarteterweise ist e auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet gut durch. Nachher enthält jedes e-te Brötchen keine Rosine, vorausgesetzt, es werden genügend viele Brötchen gebacken. Aus der Wahrscheinlichkeit, alle n Rosinen in anderen Brötchen sind, ergibt sich für unendlich viele: $p = \lim_{n\to\infty}\left(\frac {n-1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac {1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$

Siehe auch

Mathematische Konstanten
Liste besonderer Zahlen

Weblinks

ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur (http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html) (englisch)

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